6.1 Grund für die Anwendung der komplexen Rechnung

Sinusförmige Größen (auch harmonische Funktionen genannt) sind bei vorgegebener Frequenz eindeutig durch Angabe ihrer Amplitude und ihrer Phasenlage (dem Phasenwinkel) beschrieben. Sie haben damit gleiche Eigenschaften wie komplexe Zahlen, die eindeutig durch ihren Betrag und ihr Argument (Winkel zwischen reeller Achse und zugehörigem Zeiger) beschrieben werden. Es ergibt sich eine wesentliche Vereinfachung der Berechnung von Summen, Differenzialquotienten und Integralen von harmonischen Funktionen durch die komplexe Darstellung von Zeigern in der Gauß`schen Zahlenebene.

6.2 Die Zeigerdarstellung in der Gauß`schen Zahlenebene

Beschreibt man den Endpunkt eines Zeigers

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, der vom Nullpunkt der Gauß'schen Zahlenebene ausgeht, durch eine komplexe Zahl, so ist mit dieser auch der komplexe Zeiger eindeutig bezeichnet:

Für die komplexe Darstellung der Zeiger werden die gleichen Symbole verwendet, wie für die Zeiger selbst, d. h. man bezeichnet

• komplexe Zeiger mit unterstrichenen Buchstaben

• Beträge mit nicht unterstrichenen Buchstaben
  
  

Der Betrag eines Zeigers ergibt sich in der komplexen Darstellung zu

Der Winkel 

des Zeigers 

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 mit der reellen Achse ist

 wird gegen den Uhrzeigersinn als positiv gezählt.

Beachte:
Der Winkel 

kann in allen vier Quadraten liegen, Entscheidung durch Vorzeichen von Realteil und Imaginärteil. (Die Arcus-Tangens-Funktion auf Rechnern ist mehrdeutig!)

Der Betrag eines Zeigers lässt sich über den Winkel 

(seine Phasenlage) in Realteil und Imaginärteil zerlegen.

     Realteil

      Imaginärteil 

Der Zeiger ist dann als

darstellbar.

Eine weitere Schreibweise ergibt sich aus der Euler'schen Gleichung

Diese Darstellung ist besonders anschaulich; sie beschreibt den Zeiger

\ durch einen reellen Zeiger

, der durch Multiplikation mit

 aus der reellen Achse um den Winkel 

gedreht ist. 

Es ist anschaulich, dass die Differentiation nach 

der beiden Gleichungen und identische Ergebnisse, nämlich eine Drehung um 

(Multiplikation mit

) liefert:

Auch die Ergebnisse einer Integration, nämlich eine Drehung um

, sind identisch.

Es gibt also folgende Schreibweise von Zeigern, die je nach der mit ihnen durchzuführenden Rechenoperationen vorteilhaft sind:

mit 

 und 

6.3 Rechenregeln

6.3.1 Addition und Subtraktion von Zeigern

 

Die Summe bzw. Differenz komplexer Ausdrücke ergibt sich als die Summe bzw. Differenz ihrer Real- und Imaginärteile.

Die Addition und Subtraktion von Zeigern komplexer Zahlen entspricht der Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion in der Ebene.

6.3.2Multiplikation und Division von Zeigern

6.3.2.1 Die Multiplikation ist in der Exponenzialfunktion sehr viel übersichtlicher als in der polaren Form oder der kartesischen Form.

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen ergibt also eine komplexe Zahl, der Betrag gleich dem Produkt der Beträge der beiden komplexen Faktoren ist und deren Argument gleich der Summe der Argumente der beiden komplexen Faktoren ist.

Für die Division folgt entsprechend:

6.3.3 Differentiation und Integration

 

Bei der Anwendung in der Elektrotechnik ist α oft zeitabhängig (s. u.).

und es soll nach t differenziert oder integriert werden.

Für

ist das der Differenzialquotient eines komplexen Zeigers, also eines komplexen Ausdruckes, der einen sich mit 

ändernden sinusförmigen Augenblickswert symbolisiert, ergibt sich für

 zu:

Die Differentiation einer harmonischen Funktion ist also im Komplexen auf eine Multiplikation mit 

zurückgeführt. In dieser Tatsache liegt der wesentliche Grund für die Nutzung der komplexen Rechnung.

Der Zeiger 

ist also gegenüber dem Zeiger 

um den Winkel

in positiver Richtung gedreht.

In Umkehrung der Differenzialoperation gilt für die Integration:

 

6.4 Anwendung der komplexen Rechnung in der Wechselstromtechnik