5 Wechselstrom
5.1 Allgemeiner Fall und Motivation
Konvention: große Buchstaben : zeitlich konstant kleine Buchstaben : zeitlich veränderlich
Die technische Nutzung von Kapazitäten und Induktivitäten setzt nach Gleichung (4.4) bzw. Gleichung (4.7) eine Änderung der elektrischen Größen voraus. Für (idealen) Gleichstrom ist keine Nutzung möglich. Deshalb hat sich in der Energietechnik Wechselstrom (s. u.) durchgesetzt. Die elektrischen Größen zur Übertragung von Messwerten, Sprache, Video-Bildern sind von Natur aus keine Gleichstromsignale.
Wechselstromgrößen sind periodische Vorgänge
Der Mittelwert einer Periode soll null sein, also:
d.h.
Die Begründung ergibt sich aus Gleichungen (4.3) und (4.8). Ein nicht verschwindender Mittelwert würde sich bis unendlich aufintegrieren.
5.2 Sinusförmige Größen
Für jeden beliebigen Zeitpunkt
oder bei anderer Wahl von
: Scheitelwert
: Periodendauer
: Frequenz
: Kreisfrequenz
Die Frequenz gibt die Zahl der in einer Sekunde durchlaufenden Perioden an:
Damit wird zur Abkürzung die Kreisfrequenz definiert:
Die Einheit der Frequenz ist
Die Einheit der Kreisfrequenz ist
Alle Größen der Art werden sinusförmig genannt. hängt nur davon ab, was als festgelegt wird.
Die Eigenschaften, dass
die Addition zweier sinusförmiger Größen wieder eine sinusförmige Größe gleicher Frequenz ergibt und dass
die Ableitung und das Integral einer sinusförmigen Größe wieder sinusförmige Größen ergeben,
sind ein Grund dafür, dass sinusförmige Ströme und Spannungen eine herausragende Rolle in der Elektrotechnik spielen.
Darüber hinaus kann jede periodische nicht-sinusförmige Größe in eine Summe von Sinus- oder Cosinusschwingungen zerlegt werden (harmonische Analyse, Fourier-zerlegung):
Scheitelwert (Amplitude der Grundschwingung (1. Harmonische)
Scheitelwert der sog. höheren Harmonischen (Oberschwingungen)
1. Oberschwingung = 2. Harmonische
Kreisfrequenz der Grundschwingung
Ganzzahlige Vielfache von
Gleichwertig und in die Darstellung nach (5.2) umrechenbar sind die Funktionen:
Wenn man also die Ströme und Spannungen für ein Netzwerk aus Widerständen, Kapazitäten und Induktivitäten für sinusförmige Größen ermitteln kann, dann ist über diese Zerlegung auch die Berechnung für beliebige andere periodische Ströme und Spannungen möglich.
5.3 Winkel- oder Phasenbeziehungen zwischen Wechselstromgrößen
Bei der gezeichneten Phasenlage eilt die Größe der Größe um den Phasenunterschied (die Phasenverschiebung) bzw. um die Zeit nach.
Die Angabe einer Phasenverschiebung ist nur bei gleicher Frequenz der Vorgänge sinnvoll.
5.4 Arithmetischer Mittelwert
In einigen technischen Anwendungen ist der zeitliche Mittelwert eines Wechselstromes über eine halbe Periode von Interesse (oder einer Spannung):
Augenblickswert des Wechselstromes:
Aus der Gleichheit der Flächen folgt für den Mittelwert :
Für sinusförmigen Wechselstrom erhält man: