3.1 Grundaufgabe der Netzwerkberechnung

Eine beliebige Zusammenschaltung von Quellen, Widerständen und ggf. anderen elektrischen Elementen wird Netzwerk genannt.

Die Aufgabe

• bei bekannten Widerständen (und ggf. anderen Elementen)

• und bekannten Quellen

• alle Ströme zu bestimmen

kann als Grundaufgabe der Netzwerkberechnung bezeichnet werden. Andere Aufgaben, wie z. B. die erforderliche Größe einer Quelle zu berechnen, um an einer bestimmten Stelle einen vorgegebenen Strom zu erreichen, können daraus abgeleitet werden.

Im Folgenden werden Methoden und Rechenregeln zur Lösung dieser Aufgabe dargestellt.

Als Gleichstrom wird ein Strom bezeichnet, der zeitlich konstant ist, für eine Gleichspannung gilt dies sinngemäß. In der Praxis ist dieser Fall immer dann gegeben, wenn einerseits z. B. nach dem Einschalten eines Verbrauchers ausreichend Zeit vergangen und ein nahezu stationärer Wert erreicht ist und andererseits zeitliche Änderungen der Ströme und Spannungen (z. B. bei der Entladung einer Batterie) sehr langsam erfolgen.

3.2 Zählpfeilsysteme

Das ohmsche Gesetz Gleichung (2.7) wurde hergeleitet für den Fall, dass Strom und Spannung am Widerstand in der gleichen Richtung angetragen werden. Der Spannungspfeil weist dabei von 

nach

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. Die Leistung in Gleichung (2.10) wurde für einen Leiter als positiv definiert, wenn elektrische Leistung im Widerstand „verbraucht" (

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in nicht-elektrische Energie umgewandelt) wird. Diese Konzeption ist für Verbraucher zweckmäßig und üblich (Dieses System wird deshalb auch Verbraucherzählpfeilsystem genannt.). Die folgende Tabelle zeigt, wie die verwendeten Zählpfeile sich auf die beschreibenden Gleichungen auswirken.

(Bei einfachen Problemen sind die Vorzeichen oft durch den Kontext bekannt. Ein elektrischer Ofen z. B. nimmt stets nur elektrische Leistung auf,

 kann nur positiv sein.)

Gleichungen und Zählpfeile gehören zusammen! Für praktische Berechnungen folgt:

1. Zählpfeile beliebig (möglichst sinnvoll) festlegen

2. Gleichungen dazu aufstellen und lösen

3. Größen, für die sich negative Ergebnisse ergeben, wirken in der Realität entgegengesetzt zur angenommenen Pfeilrichtung

 

3.3 Knotenregel (Erste Kirchhoff'sche Regel)

Die aus idealen Leitern bestehende Verbindung zwischen mehreren Widerständen und Quellen wird als Knoten bezeichnet: 

Bei vielen angeschlossenen Elementen können Knoten in Zeichnungen recht ausgedehnt sein. 

Elektrische Ladung kann nicht verloren gehen und kann nicht entstehen. Für Gleichstrom kann auch keine Ladung gespeichert werden; die zeitliche Zunahme einer Ladung an einem Ort wäre ja zeitlich konstant (Gleichung (2.5)) und würde sich zu einer unendlich großen Ladung ansammeln.

Daraus folgt, dass an jedem Ort pro Zeit die Summe aller Ladungszuflüsse und Ladungsabflüsse null sein muss. Mit Gleichung (2.5) folgt die Knotenregel für die dargestellten Beispiele. Da es nur ideale Leiter innerhalb des Knotens gibt, kann es keine Spannungsdifferenzen innerhalb eines Knotens geben.

Die Summe aller in einen Knotenpunkt fließenden Ströme ist also immer null.

Zählt man alle zu dem Knoten hin fließenden Ströme positiv und alle weg fließenden negativ, dann kann man das allgemein schreiben:

 

3.4 Parallelschaltung von Widerständen, Stromteilerregel

 

Nach dem ohmschen Gesetz ist:

Nach der Knotenregel gilt

Also ist

Die Parallelschaltung ist also gleichwertig zu einem einzelnen Widerstand

:

Also ist mit (3.2) :

oder

Bei zwei Widerständen

 und

 ist somit der resultierende Widerstand gemäß (3.4)

 

 

Anmerkung: Ein Vergleich mit Gleichung (2.8) zeigt, dass die Parallelschaltung einer Vergrößerung des gesamten Querschnitts entspricht

Aus Gleichungen (3.1) und (3.3) folgt die Stromteilerregel

oder für den Fall von nur zwei parallelen Widerständen mit Gleichung (3.5) daraus

 

3.5 Maschenregel (zweite Kirchhoff'sche Regel)

 

Die Widerstände

sind hintereinander geschaltet. Durch den Strom

, der alle Widerstände durchfließt, fallen nach dem ohmschen Gesetz an den Widerständen

 die folgenden Teilspannungen

ab: 

 

Jede dieser Spannungen bedeutet pro Ladung nach Gleichung (2.4) einen Verlust an elektrischer Energie. Der gesamte Verlust an elektrischer Energie entspricht also der Summe aller Spannungen. Diese muss von einer Quelle aufgebracht werden. Das bedeutet, dass die Spannung über einen geschlossenen Weg gleich null sein muss, wenn alle Spannungszählpfeile in Richtung des Weges gewählt werden:

Spannungen, für die die Zählpfeile entgegen des gewählten Weges zeigen, werden negativ angesetzt, also für das dargestellte Beispiel:

Bei diesen Überlegungen wurde nicht vorausgesetzt, dass entlang des gewählten Weges ein Strom fließt. Die Gleichung (3.7) gilt also für beliebige Wege, also gilt z. B. für das dargestellte Beispiel für die Spannung

:

 

3.6 Reihenschaltung von Widerständen, Spannungsteilerregel

Gleichung (3.8) kann umsortiert werden:

Setzt man (3.6) in (3.9) ein, so ist

Die Reihenschaltung ist also gleichwertig mit einem einzelnen Widerstand der Größe:

Anmerkung: Der Vergleich mit Gleichung (2.8) zeigt, dass dies einer Vergrößerung der Länge entspricht.

Aus Gleichungen (3.6), (3.9) und (3.10) folgt die Spannungsteilerregel: