Wechselspannung im Zeitbereich

Aufgabe 04-1:

Der folgende Stromkreis besteht aus einem Spannungsgenerator und einem ohmschen Verbraucher

Open

Zunächst sei der Spannungsgenerator auf Gleichspannung eingestellt mit 
 und 

1.1 Berechnen Sie die in R verbrauchte Leistung und Energie innerhalb einer Zeitspanne T.

Jetzt wird der Spannungsgenerator auf eine Wechselspannung eingestellt mit  und 

1.2 Ermitteln Sie die Periodendauer, die Kreisfrequenz und den Spitze-zu-Spitze Wert der Spannung.
1.3 Berechnen Sie den Strom, der im Verbraucher R die gleiche Wärme verursacht wie der Gleichstrom.

Der Spannungsgenerator wird durch einen Einweggleichrichter ersetzt. Dieser erzeugt:
    für  
                   für  

1.4 Zeichnen Sie den Stromverlauf am Verbraucher

1.5 Berechnen Sie den arithmetischen und quadratischen Mittelwert (Effektivwert) des Stroms

Der Einweggleichrichter wird jetzt durch einen Zweiweggleichrichter ersetzt. Dieses bildet:

1.6 Zeichnen Sie den Verlauf des Stromes durch den Verbraucher

1.7 Berechnen Sie den arithmetischen und quadratischen Mittelwert des Stroms

Der Spannungsgenerator versorgt jetzt den Verbraucher mit einem Rechtecksignal (ohne Gleichanteil). Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und den quadtraischen Mittelwert (Effektivwert) des Stroms am Verbraucher

1.8  direkt am Verbraucher

1.9  bei der Zwischenschaltung eines Einweggleichrichters

1.10 bei der Zwischenschaltung eines Doppelweggleichrichters

Lösung 1.1:

Da sowohl der fließende Strom, als auch die anliegende Spannung konstant ist (), ergibt sich die Leistung zu:

Auf die Zeitspanne T  bezogen ergibt sich für die Energiemenge W:

Lösung 1.2:

 und 

Die Periodendauer kann aus der gegeben Frequenz bestimmt werden und ergibt sich zu:

Die Kreisfrequenz ermittelt sich aus der Beziehung zur Frequenz.

Der Spitze-Spitze Wert der Spannung entspricht genau der doppelten Spannung .

Lösung 1.3:

Im Verbraucher wird dann gleiche Wärme wie in 1.1 verursacht, wenn die in der Zeit T umgesetzte Leistung W identisch ist. Da die nun umgesetzte Leistung zeitabhängig ist, muss über die Zeitspanne T integriert werden. Das zu lösende Integral lässt sich durch die Zuhilfenahme einiger Additionstheoreme vereinfachen:

Gleichsetzen mitund anschließendes auflösen nach ergibt:

Lösung 1.4:

Open

Lösung 1.5:

Der arithmetische Mittelwert ermittelt sich gemäß:

Der quadratische Mittelwert oder Effektivwert hingegen ermittelt sich gemäß:

Aufgrund des sinusförmigen Verlaufes darf im vorliegenden Fall nur über eine halbe Periodendauer integriert werden. Aufgrund des Gleichrichters muss der jeweilige Wert jedoch durch eine komplette Periodendauer dividiert werden, wie in dem Diagramm aus 1.4 zu erkennen ist. Für arithmetischen und quadratischen Mittelwert ergeben sich dann:

Lösung 1.6:

Skizze eines Zweiweggleichrichters und Stromverlauf über die Zeit:

Lösung 1.8:

Skizze des Stromverlaufs über die Zeit:

Für den Strom gilt:

Für die Mittelwerte folgt:

Lösung 1.9:

Es empfiehlt sich ein analoges Vorgehen zu 1.8. Skizze des Stromverlaufs über die Zeit:

Für die Mittelwerte folgt:

Lösung 1.10:

Bei der Zwischenschaltung eines Doppelweggleichrichters. Es empfiehlt sich ein analoges Vorgehen zu 1.8 und 1.9.

Schein-, Blind- und Wirkleistungen im Zeitbereich

Aufgabe 04-2

Gegeben:  

Die dargestellte Reihenschaltung wird vom eingeprägten Strom  durchflossen. 
Zum Zeitpunkt  sei der Kondensator ungeladen.

2.1 Berechnen Sie die Spannungen  und skizzieren Sie ihren zeitlichen Verlauf.
2.2 Wie groß ist der Phasenwinkel  zwischen u und i?
2.3 Berechnen Sie die Scheinleistung S, die Wirkleistung P und die Blindleistung Q!

Einführung Zeigerdarstellung:

Kartesische Form:   

Polare Form:  

Exponentialform:   

Lösung 2.1:

Darstellung der Größen in der komplexen Form:

Rücktransformation in den Zeitbereich:

Lösung 2.2:

Der Phasenwinkel ist dem Zeigerdiagramm, dem zeitlichen Verlaud oder aus der berechneten Spannung zu entnehmen.

Lösung 2.3:

              

Die kapazitive Blindleistung ist im Gegensatz zur induktiven Blindleistung immer negativ. Die Energie pendelt zwischen der übrigen Schaltung und dem Blindwiderstand. Sie wird im Blindwiderstand als elektrische Energie eine Viertelperiode lang gespeichert und in der nächsten Viertelperiode an die übrige Schaltung zurückgegeben.

Alternative:

Aufgabe 04-3

An einer unbekannten Schaltung liegt eine sinusförmige Spannung  mit der Frequenz  und dem Scheitelwert .
Es wird ein sinusförmiger Strom  gemessen, der dieselbe Frequenz  und einen Scheitelwert  hat. Dieser Strom eilt der Spannung um die Zeit  nach.

Gegeben: 

3.1 Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von Spannung und Strom.
3.2 Drücken Sie Spannung und Strom durch komplexe Größen in karthesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten aus und zeichnen Sie das zugehörige Zeigerbild.
3.3 Die Schaltung besteht aus der Serienschaltung zweier Elemente. Um welche handelt es sich und welche Werte haben sie ?

Lösung 3.1:

Lösung 3.2:

In komplexe Formen bringen:

Zeigerbild:

Karthesisch:

Lösung 3.3:

Impedanz für Kondensator und Spule:

Es ist also eine Reihenschaltung von Widerstand und Induktivität, da der Imaginäranteil positiv ist.

Aufgabe 04-4

Ein Verbraucher nimmt an einem 230 V_eff-Stromnetz () eine Leistung  bei  auf. Ermitteln Sie:

4.1 den Scheitelwert des Stromes in den Zuleitungen,
4.2 die Scheinleistung,
4.3 die Blindleistung,
4.4 die Werte für eine Parallelschaltung aus einem Widerstand R und einer Induktivität L, die den gleichen Strom aufnehmen würde wie der gegebene Verbraucher, also als eine Ersatzschaltung für den Verbraucher betrachtet werden könnte.

Lösung 4.1:

Lösung 4.2:

Lösung 4.3:

Lösung 4.4:

Aufgabe 04-5

An einer Schaltung liegt die Spannung . Dabei fließt ein Strom .

Gegeben: 

5.1 Berechnen Sie den komplexen Widerstand  (Impedanz) des Verbrauchers.
5.2 Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom?
5.3 Hat der Verbraucher eine induktive oder kapazitive Blindkomponente?

Lösung 5.1:

Lösung 5.2:

Ablesen aus   bzw. aus   und :

Lösung 5.3:

Der Phasenwinkel ist positiv, daher ist die Blindkomponente induktiv.

Erste Wechselspannungssysteme in komplexer Rechnung

Aufgabe 04-6

Gegeben sind die folgenden Schaltungen:

6.1 Berechnen Sie den Strom in den folgenden Schaltungen.

6.2 Berechnen Sie die Spannungen und Ströme an allen Verbraucher der folgenden Schaltung.

6.3 Zeichnen Sie die Spannungen aller Verbraucher und von in einem Zeigerdiagram.

Gegeben:

Lösung 6.1:

Lösung 6.2:

Für die jeweiligen Impedanzen gilt:                                                                                     

Damit ergibt sich für die Gesamtimpedanz:

Damit folgt für den Gesamtstrom:

Damit ergibt sich:

Lösung 6.3:

Aufgabe 04-7:

Gegeben ist die folgende folgende Schaltung mit einem Kapazitiven Spannungsteiler (bestehend aus der Reihenschaltung zweier Kondensatoren  und ).
Dieser wird zwischen den Anschlussklemmen von  durch den Verbraucher  belastet.

7.1 Zeichnen Sie ein qualitatives (ohne Maßstab) Zeigerbild, das alle Spannungen und Ströme der Schaltung enthält.

7.2 Mit Hilfe der komplexen Rechnung ist der Strom  (Betrag und Phase) zu bestimmen.

Lösung 7.1

Schritt 1: Konstruktion von innen nach außen, mit beginnen.
Schritt 2:    ist in Phase mit   

Schritt 3: eilt =   um 90° voraus
Schritt 4: =  
Schritt 5:  läuft ▁I um 90° hinterher 
Schritt 6:   

Lösung 7.2

An dieser Stelle werden Werte eingesetzt.

Aufgabe 04-8:

Gegeben ist die folgende Schaltung.

Außerdem kennen Sie die folgenden Werte:
Zusätzlich kennen Sie die Spannung am Kondensator:
Es liegt die Frequenz vor. Damit ergeben sie die folgenden Reaktanzen:

8.1 Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm aller Ströme und Spannungen (10 V  0,5 cm; 1 A  1 cm) !

Gehen Sie in den folgenden Teilaufgaben davon aus, dass die Frequenz der Spannungsquelle variabel ist. (Hinweis: Der Effektivwert von U₀ ändert sich nicht.) Beachten Sie den Einfluss der Frequenz auf die Reaktanzen.

8.2 Für welche Kreisfrequenz  wird ?

8.3 Wie groß sind dann und  ?

Lösung 8.1

 Von innen nach außen: Mit beginnen.

 : Lage bekannt, Länge:

 : Lage bekannt, Länge: 

  grafisch/rechnerisch:

 : Lage bekannt, Länge: 

  grafisch/rechnerisch:

Lösungen 8.2:

Lösungen 8.3:

Zur Veranschaulichung des Winkelunterschieds wird hier auf  0° gesetzt. (Es ist lediglich eine Drehung des Zeigerdiagramms um ).

HINWEIS: Man sieht hier also, dass der Phasenunterschied von   und beträgt. 

Komplexe Rechnung

Aufgabe 04-9:

Finden Sie die Gleichungen für Strom und Spannung in der Induktivität, dem Widerstand und dem Kondensator für die folgende Schaltung.
Nehmen Sie R₁, C₁, und L₁ sowie die Spannung U und die Frequenz f als bekannt an.

Lösung:

Aufgabe 04-10:

Die Impedanz  der unten abgebildeten Schaltung ist unbekannt. Zur Ermittlung dieser Impedanz wurde die Spannung  angelegt und folgendes gemessen:

a) Der Strom  hat die Phasenlage von  gegenüber . ( eilt voraus)
b) Die Spannung  hat den Betrag von 40 V.

Gegeben: 

10.1 Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm aller Spannungen und Ströme. (Maßstab: 1 A 1 cm, 10 V1 cm)
10.2 Bestimmen Sie die Impedanz  und geben Sie ihren Real- und Imaginärteil an.

Lösung 10.1

Bekannt:

Schritt 1: und vervollständigen 

Beträge:                       
Winkel:                       

Klar machen: dabei ist    in Phase mit  und  läuft    um 90° voraus.
Diese können also mit den vorhandenen Informationen eintragen, ohne weiter zu rechnen.

Schritt 2:  Berechnung von   aus   und   sowie Bestimmung von   und

   läuft dabei    um    hinterher und    läuft   90° voraus.
Da und   im Verhältnis 1:2 zueinander stehen, können die beiden Spannungen direkt eingezeichnet werden.

Beträge: 

Schritt 3: Ermittlung von  

Hinweis: Kann zwar direkt eingezeichnet werden, wird aber bei 1.2 nochmal benötigt, daher folgt die Berechnung.

Schritt 4: Ermittlung von

Hinweis: Kann zwar ebenfalls direkt eingezeichnet werden, wird aber bei 1.2 nochmal benötigt, daher folgt die Berechnung.

Lösung 10.2

Aufgabe 04-11:

Gegeben ist die untenstehende Schaltung. Bekannt sind die Werte von  sowie der Strom .

Gegeben: 

11.1 Zeichnen Sie ein quantitatives Zeigerdiagramm von  und . (Maßstabsempfehlung: )

11.2 Für welchen Wert von  sind  und  in Phase ?

11.3 Welches Bauteil muss man anstelle von  verwenden, damit  und  in Phase sind?
     Welchen Wert muss das Bauteil haben?
     Lösen Sie die Aufgabe soweit wie möglich grafisch.

Lösung 11.1

ist gegeben, kann auch als Referenz für die Orientierung des Zeigerbildes genommen
werden, also mit eingezeichnet werden.

Zusammenfassung der Spannungen und Ströme:

Lösung 11.2

Rechnerisch:

Bedingung: muss mit  in Phase sein, bzw. reell sein, d.h.

Eingesetzt ergibt das Ergebins dann den strom 

Grafisch:
Durch   fließt  und es gilt:
Somit muss  im Zeigerdiagramm zusammen mit den Winkel 0° erzeugen (Es gilt: liegt in Phase mit ). Die Länge von  entspricht der von  =5,38 cm.
Ablesen ergibt also:

Lösung 11.3

Rechnerisch:

Alternativ kann die Kapazität über die Blindleistung bestimmt werden: 

Grafisch:
Damit und in Phase kommen, sollte   gedreht werden. Dies wird durch ermöglicht,
da ist und schon festgelegt ist. Wenn  durch einen Kondensator ersetzt wird, kann die gewünschte Phasendrehung erreicht werden.
Ablesen ergibt: