Wechselspannung im Zeitbereich

Aufgabe 04-1:

Der folgende Stromkreis besteht aus einem Spannungsgenerator und einem ohmschen Verbraucher

Zunächst sei der Spannungsgenerator auf Gleichspannung eingestellt mit 

 und 

1.1 Berechnen Sie die in R verbrauchte Leistung und Energie innerhalb einer Zeitspanne T.

Jetzt wird der Spannungsgenerator auf eine Wechselspannung eingestellt mit

 und 

1.2 Ermitteln Sie die Periodendauer, die Kreisfrequenz und den Spitze-zu-Spitze Wert der Spannung.
1.3 Berechnen Sie den Strom, der im Verbraucher R die gleiche Wärme verursacht wie der Gleichstrom.

Der Spannungsgenerator wird durch einen Einweggleichrichter ersetzt. Dieser erzeugt:

    für  

                   für  

1.4 Zeichnen Sie den Stromverlauf am Verbraucher

1.5 Berechnen Sie den arithmetischen und quadratischen Mittelwert (Effektivwert) des Stroms

Der Einweggleichrichter wird jetzt durch einen Zweiweggleichrichter ersetzt. Dieses bildet:

1.6 Zeichnen Sie den Verlauf des Stromes durch den Verbraucher

1.7 Berechnen Sie den arithmetischen und quadratischen Mittelwert des Stroms

Der Spannungsgenerator versorgt jetzt den Verbraucher mit einem Rechtecksignal (ohne Gleichanteil). Berechnen Sie den arithmetischen Mittelwert und den quadtraischen Mittelwert (Effektivwert) des Stroms am Verbraucher

1.8  direkt am Verbraucher

1.9  bei der Zwischenschaltung eines Einweggleichrichters

1.10 bei der Zwischenschaltung eines Doppelweggleichrichters

Lösung 1.1:

Da sowohl der fließende Strom, als auch die anliegende Spannung konstant ist (

), ergibt sich die Leistung zu:

Auf die Zeitspanne T  bezogen ergibt sich für die Energiemenge W:

Lösung 1.2:

 und 

Die Periodendauer kann aus der gegeben Frequenz bestimmt werden und ergibt sich zu:

Die Kreisfrequenz ermittelt sich aus der Beziehung zur Frequenz.

Der Spitze-Spitze Wert der Spannung entspricht genau der doppelten Spannung

.

Lösung 1.3:

Im Verbraucher wird dann gleiche Wärme wie in 1.1 verursacht, wenn die in der Zeit T umgesetzte Leistung W identisch ist. Da die nun umgesetzte Leistung zeitabhängig ist, muss über die Zeitspanne T integriert werden. Das zu lösende Integral lässt sich durch die Zuhilfenahme einiger Additionstheoreme vereinfachen:

Gleichsetzen mit

und anschließendes auflösen nach

ergibt:

Lösung 1.4:

Lösung 1.5:

Der arithmetische Mittelwert ermittelt sich gemäß:

 

Der quadratische Mittelwert oder Effektivwert hingegen ermittelt sich gemäß:

Aufgrund des sinusförmigen Verlaufes darf im vorliegenden Fall nur über eine halbe Periodendauer integriert werden. Aufgrund des Gleichrichters muss der jeweilige Wert jedoch durch eine komplette Periodendauer dividiert werden, wie in dem Diagramm aus 1.4 zu erkennen ist. Für arithmetischen und quadratischen Mittelwert ergeben sich dann:

Lösung 1.6:

Skizze eines Zweiweggleichrichters und Stromverlauf über die Zeit:

Lösung 1.8:

Skizze des Stromverlaufs über die Zeit:

Für den Strom gilt:

Für die Mittelwerte folgt:

Lösung 1.9:

Es empfiehlt sich ein analoges Vorgehen zu 1.8. Skizze des Stromverlaufs über die Zeit:

Für die Mittelwerte folgt:

Lösung 1.10:

Bei der Zwischenschaltung eines Doppelweggleichrichters. Es empfiehlt sich ein analoges Vorgehen zu 1.8 und 1.9.

Schein-, Blind- und Wirkleistungen im Zeitbereich

Aufgabe 04-2

Gegeben: 

 

Die dargestellte Reihenschaltung wird vom eingeprägten Strom 

 durchflossen. 
Zum Zeitpunkt 

 sei der Kondensator ungeladen.

2.1 Berechnen Sie die Spannungen 

 und skizzieren Sie ihren zeitlichen Verlauf.
2.2 Wie groß ist der Phasenwinkel 

 zwischen u und i?
2.3 Berechnen Sie die Scheinleistung S, die Wirkleistung P und die Blindleistung Q!

Einführung Zeigerdarstellung:

Kartesische Form:   

Polare Form:  

Exponentialform:  

 

Lösung 2.1:

Darstellung der Größen in der komplexen Form:

Rücktransformation in den Zeitbereich:

Lösung 2.2:

Der Phasenwinkel ist dem Zeigerdiagramm, dem zeitlichen Verlaud oder aus der berechneten Spannung

zu entnehmen.

Lösung 2.3:

              

Die kapazitive Blindleistung ist im Gegensatz zur induktiven Blindleistung immer negativ. Die Energie pendelt zwischen der übrigen Schaltung und dem Blindwiderstand. Sie wird im Blindwiderstand

als elektrische Energie eine Viertelperiode lang gespeichert und in der nächsten Viertelperiode an die übrige Schaltung zurückgegeben.

Alternative:

Aufgabe 04-3

An einer unbekannten Schaltung liegt eine sinusförmige Spannung 

 mit der Frequenz 

 und dem Scheitelwert 

.
Es wird ein sinusförmiger Strom 

 gemessen, der dieselbe Frequenz 

 und einen Scheitelwert 

 hat. Dieser Strom eilt der Spannung um die Zeit 

 nach.

Gegeben: 

3.1 Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf von Spannung und Strom.
3.2 Drücken Sie Spannung und Strom durch komplexe Größen in karthesischen Koordinaten und in Polarkoordinaten aus und zeichnen Sie das zugehörige Zeigerbild.
3.3 Die Schaltung besteht aus der Serienschaltung zweier Elemente. Um welche handelt es sich und welche Werte haben sie ?

Lösung 3.1:

Lösung 3.2:

In komplexe Formen bringen:

Zeigerbild:

Karthesisch:

Lösung 3.3:

Impedanz für Kondensator und Spule:

Es ist also eine Reihenschaltung von Widerstand und Induktivität, da der Imaginäranteil positiv ist.

Aufgabe 04-4

Ein Verbraucher nimmt an einem 230 V_eff-Stromnetz (

) eine Leistung 

 bei 

 auf. Ermitteln Sie:

4.1 den Scheitelwert des Stromes in den Zuleitungen,
4.2 die Scheinleistung,
4.3 die Blindleistung,
4.4 die Werte für eine Parallelschaltung aus einem Widerstand R und einer Induktivität L, die den gleichen Strom aufnehmen würde wie der gegebene Verbraucher, also als eine Ersatzschaltung für den Verbraucher betrachtet werden könnte.

Lösung 4.1:

Lösung 4.2:

Lösung 4.3:

Lösung 4.4:

Aufgabe 04-5

An einer Schaltung liegt die Spannung 

. Dabei fließt ein Strom 

.

Gegeben: 

5.1 Berechnen Sie den komplexen Widerstand 

 (Impedanz) des Verbrauchers.
5.2 Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom?
5.3 Hat der Verbraucher eine induktive oder kapazitive Blindkomponente?

Lösung 5.1:

Lösung 5.2:

Ablesen aus

  bzw. aus

  und

:

Lösung 5.3:

Der Phasenwinkel ist positiv, daher ist die Blindkomponente induktiv.

Erste Wechselspannungssysteme in komplexer Rechnung

Aufgabe 04-6

Gegeben sind die folgenden Schaltungen:

6.1 Berechnen Sie den Strom in den folgenden Schaltungen.

6.2 Berechnen Sie die Spannungen und Ströme an allen Verbraucher der folgenden Schaltung.

6.3 Zeichnen Sie die Spannungen aller Verbraucher und von

in einem Zeigerdiagram.

Gegeben:

Lösung 6.1:

Lösung 6.2:

Für die jeweiligen Impedanzen gilt:                                                                                     

Damit ergibt sich für die Gesamtimpedanz:

Damit folgt für den Gesamtstrom:

Damit ergibt sich:

Lösung 6.3:

Aufgabe 04-7:

Gegeben ist die folgende folgende Schaltung mit einem Kapazitiven Spannungsteiler (bestehend aus der Reihenschaltung zweier Kondensatoren 

 und 

).
Dieser wird zwischen den Anschlussklemmen von 

 durch den Verbraucher 

 belastet.

7.1 Zeichnen Sie ein qualitatives (ohne Maßstab) Zeigerbild, das alle Spannungen und Ströme der Schaltung enthält.

7.2 Mit Hilfe der komplexen Rechnung ist der Strom 

 (Betrag und Phase) zu bestimmen.

Lösung 7.1

Schritt 1: Konstruktion von innen nach außen, mit

beginnen.
Schritt 2:

   ist in Phase mit 

 

Schritt 3:

eilt

=

  um 90° voraus
Schritt 4:

 =

 
Schritt 5:

  läuft ▁I um 90° hinterher 
Schritt 6:   

Lösung 7.2

An dieser Stelle werden Werte eingesetzt.

Aufgabe 04-8:

Gegeben ist die folgende Schaltung.

Außerdem kennen Sie die folgenden Werte:

Zusätzlich kennen Sie die Spannung am Kondensator:

Es liegt die Frequenz

vor. Damit ergeben sie die folgenden Reaktanzen:

8.1 Zeichnen Sie das Zeigerdiagramm aller Ströme und Spannungen (10 V 

 0,5 cm; 1 A 

 1 cm) !

Gehen Sie in den folgenden Teilaufgaben davon aus, dass die Frequenz der Spannungsquelle

variabel ist. (Hinweis: Der Effektivwert von U₀ ändert sich nicht.) Beachten Sie den Einfluss der Frequenz auf die Reaktanzen.

8.2 Für welche Kreisfrequenz 

 wird 

?

8.3 Wie groß sind dann

und

 ?

Lösung 8.1

 Von innen nach außen: Mit

beginnen.

 : Lage bekannt, Länge:

 : Lage bekannt, Länge: 

  grafisch/rechnerisch:

 : Lage bekannt, Länge: 

  grafisch/rechnerisch:

Lösungen 8.2:

Lösungen 8.3:

Zur Veranschaulichung des Winkelunterschieds wird hier

auf  0° gesetzt. (Es ist lediglich eine Drehung des Zeigerdiagramms um

).

HINWEIS: Man sieht hier also, dass der Phasenunterschied von

  und

beträgt. 

Komplexe Rechnung

Aufgabe 04-9:

Finden Sie die Gleichungen für Strom und Spannung in der Induktivität, dem Widerstand und dem Kondensator für die folgende Schaltung.
Nehmen Sie R₁, C₁, und L₁ sowie die Spannung U und die Frequenz f als bekannt an.

Lösung:

Aufgabe 04-10:

Die Impedanz 

 der unten abgebildeten Schaltung ist unbekannt. Zur Ermittlung dieser Impedanz wurde die Spannung 

 angelegt und folgendes gemessen:

a) Der Strom 

 hat die Phasenlage von 

 gegenüber 

. (

 eilt voraus)
b) Die Spannung 

 hat den Betrag von 40 V.

Gegeben: 

10.1 Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm aller Spannungen und Ströme. (Maßstab: 1 A 

1 cm, 10 V

1 cm)
10.2 Bestimmen Sie die Impedanz 

 und geben Sie ihren Real- und Imaginärteil an.

Lösung 10.1

Bekannt:

Schritt 1:

 und

vervollständigen 

 

       
 

Beträge:                       

Winkel:                       

Klar machen:

dabei ist

   in Phase mit

 und

 läuft  

  um 90° voraus.
Diese können also mit den vorhandenen Informationen eintragen, ohne weiter zu rechnen.

Schritt 2:  Berechnung von

  aus

  und

  sowie Bestimmung von

  und

   läuft dabei

   um

   hinterher und

   läuft

  90° voraus.
Da

und

  im Verhältnis 1:2 zueinander stehen, können die beiden Spannungen direkt eingezeichnet werden.

Beträge: 

Schritt 3: Ermittlung von

 

 

Hinweis: Kann zwar direkt eingezeichnet werden, wird aber bei 1.2 nochmal benötigt, daher folgt die Berechnung.

Schritt 4: Ermittlung von

Hinweis: Kann zwar ebenfalls direkt eingezeichnet werden, wird aber bei 1.2 nochmal benötigt, daher folgt die Berechnung.

Lösung 10.2

Aufgabe 04-11:

Gegeben ist die untenstehende Schaltung. Bekannt sind die Werte von 

 sowie der Strom 

.

Gegeben: 

 

11.1 Zeichnen Sie ein quantitatives Zeigerdiagramm von 

 und 

. (Maßstabsempfehlung: 

)

11.2 Für welchen Wert von 

 sind 

 und 

 in Phase ?

11.3 Welches Bauteil muss man anstelle von 

 verwenden, damit 

 und 

 in Phase sind?
     Welchen Wert muss das Bauteil haben?
     Lösen Sie die Aufgabe soweit wie möglich grafisch.

Lösung 11.1

ist gegeben, kann auch als Referenz für die Orientierung des Zeigerbildes genommen
werden, also mit

eingezeichnet werden.

 

 

Zusammenfassung der Spannungen und Ströme:

Lösung 11.2

Rechnerisch:

Bedingung:

 muss mit 

 in Phase sein, bzw. reell sein, d.h.

Eingesetzt ergibt das Ergebins dann den strom 

Grafisch:
Durch

  fließt

 und es gilt:

Somit muss  im Zeigerdiagramm zusammen mit den Winkel 0° erzeugen (Es gilt: liegt in Phase mit ). Die Länge von  entspricht der von  =5,38 cm.Ablesen ergibt also: