Lösungen - OP
Aufgabe 08-1:
Die nachstehende Operationsverstärkerschaltung ist zu untersuchen:
1.1 Der Schalter S steht in Stellung „1" (offen). Es Ist =10 k.
Finden Sie einen Ausdruck für die Ausgangsspannung und bestimmen Sie und , so dass gilt:
1.2 Der Schalter S steht in Stellung „0" (geschlossen). Es ist
Wie groß muss gewählt werden, damit für die Spannung beträgt?
1.3 Der Schalter steht in Stellung „1" (offen). Es ist
Welche maximale positive Spannung und welche minimale Spannung können am Ausgang auftreten, wenn und unabhängig voneinander im Bereich
und liegen.
Lösung 1.1
Um die Aufgabe zu lösen, müssen die gesuchten sowie die gegebenen Größen und Beziehungen in einen Zusammenhang gebracht werden. Dazu werden mehrere Knoten und Maschen in das Netzwerk gelegt.
Die Knotengleichungen lauten:
Die Maschengleichungen lauten:
Einsetzen der Maschen I bis III in den Knoten 1 ergibt:
Umformen nach ergibt:
Es muss nun also gelten:
Diese Vorgehen nennt sich Koeffizientenvergleich, da es nur so für beliebige Werte der Spannungen möglichv ist, dass die Ausgangsspannung die vorgegebenen Werte annimmt.
Aufgabe 1.2
Lösung 1.2
Wie in der vorherigen Aufgabe müssen die gesuchten und gegebenen Größen in einen zusammenhang gesetzt werden. Dazu wird in das Netzwerk ein weiterer Knoten gelegt
Die Knotengleichungen lauten:
Durch Umformen und Einsetzen der bereits bekannten Beziehungen ergibt sich:
ist der Ersatzwiderstand aus und
Einsetzen der bereits bekannten Werte und anschließendes umformen führt zu der Form:
Aus der Definition des Ersatzwiderstandes folgt der gesuchte Widerstand:
Lösung 1.3
Aus dem vorherigen Aufgabenteilen sind die folgenden Beziehungen bekannt:
Durch geschicktes umformen können die Gleichungen nach umgestellt werden:
Die daraus folgende Abhängigkeit ergibt, das für minimale Werte von und maximale Werte und für maximale Werte von und minimale Werte annimmt.
Aufgabe 08-2:
Schmitt-Trigger
Gegeben ist die nachfolgende Operationsverstärkerschaltung, bei der der Ausgang auf den nicht-invertierenden Eingang rückgeführt wird.
Gehen Sie davon aus, dass Ihnen die Versorgungsspannungen des Operationsverstärkers UB+ und UB- und die Widerstände R1 und R2 bekannt sind.
2.1 Bestimmen Sie die positive und die negative Schaltschwelle in Abhängigkeit der gegebenen Größen.
Nun gilt: UB+=12 V, UB-=-12 V und R1=1 kΩ.
2.2 Bestimmen Sie R2, sodass für die Schaltschwellen |Us+|=|Us-|=3 V gilt.
2.3 Zeichnen Sie die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.
Lösung 2.1:
Der Operationsverstärker wird in Mittkopplung betrieben. Aus diesem Grund kann die Ausgangsspannung nur 2 stabile Werte annehmen: Die positive und die negative Versorgungsspannung des Operationsverstärkers.
Da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverstärkers angeschlossen ist, liegt die maximale Ausgangsspannung bei hohen positiven Eingangsspannungen vor,
während die maximale negative Ausgangsspannung bei hohen negativen Eingangsspannungen vorliegt. Der Wechsel findet jedoch nicht bei Ue=0 V statt, sondern bei abweichenden Spannungen, da dauerhaft ein Teil
Ausgangsspannung auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird und im Unterschied zur Gegenkopplung daher nicht dauerhaft U+=U- gilt.
Der Wechsel zwischen den beiden Ausgangsspannungen findet statt, wenn die Differenzspannung zwischen den Eingängen des Operationsverstärkers 0V beträgt.
Dieser Wechsel findet bei zwei verschiedenen Eingangsspannung Ue statt, je nachdem, ob der Operationsverstärker zuvor die maximale oder minimale Ausgangsspannung aufweist.
Daher ist ein Ausdruck erforderlich, welcher Ue, Ua und die Differenzspannung über den Eingängen des Operationsverstärkers enthält.
Dazu werden die in folgender Abbildung eingezeichnet 2 Maschen- und die eine Knotengleichen aufgestellt.
Die Maschengleichungen lauten:
Die Knotengleichung lautet:
Wie üblich, werden nun die Maschengleichungen nach dem Strom aufgelöst und in die Knotengleichung eingesetzt:
Die Eingangsspannung Ue, bei welcher der Wechsel zwischen den beiden Ausgangszuständen stattfindet ergibt sich durch Umformung dieser Gleichung nach Ue:
Zu dem Zeitpunkt, wo der Wechsel stattfindet, gilt UD=0 V!
Damit ergeben sich die beiden Schaltschwellen zu:
Dei dem positiven Wert von Us wechselt Ua vom negativen Maximalwert in den positiven Maximalwert. Bei dem negativen Wert von Us genau anders herum.
Lösung 2.2
Nun gilt: UB+=12 V, UB-=-12 V und R1=1 kΩ.
Diese Werte werden in den Ausdruck für Us eingesetzt und dieser wird anschließend nach R2 umgestellt. Damit ergibt sich:
Lösung 2.3
Die folgende Abbildung zeigt die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.
Liegt eine hohe Eingangsspannung vor, hat der Schmitt-Trigger die Sättigungsausgangsspannung von 12 V. (Diese Spannung ist positiv, da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang angeführt wird.)
Solange die Eingangsspannung über -3V liegt, kann der Schmitt-Trigger nur die positive Ausgangsspannung aufweisen, da dauerhaft +3V auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird.
Erst, wenn die Eingangsspannung unter -3V sinkt, wird auch die Ausgangsspannung negativ.
Im anderen Fall, wenn eine hohe negative Eingangsspannung vorliegt, gelten die gleichen Zusammenhänge - jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.
Aufgabe 08-3:
Für eine Messschaltung wird eine Konstantstromquelle benötigt. Der Strom kann in folgender Schaltung durch den Operationsverstärker in weiten Grenzen konstant auf 20 mA gehalten werden.
Gegeben:
Annahme: Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers ist durch dessen inneren Aufbau auf begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.
Ermitteln Sie:
3.1 den Wert für Widerstand .
3.2 den Bereich von , für den der Strom konstant gehalten werden kann.
Lösung 3.1
Es ist ein Zusammenhang zwischen den gegebenen und gesuchten Größen herzustellen. Zu beachten ist, dass es sich gegebenen Fall um eine Gegenkopplung handelt
Die Knotengleichungen lauten:
Maschen:
Einsetzen der Maschen- in die Knotengleichung ergibt:
Umformen ergibt :
Aus dem Netzwerk wird ersichtlich, das unter den üblichen Vereinfachungen für den Operationsverstärker gelten muss: Zudem bedingt sich für die Spannung die über den Widerstand abfällt Somit lässt sich der Widerstand bestimmen:
Lösung 3.2
Der Zusammenhang zwischen und der variablen Spannung kann über eine Masche ermittelt werden:
Umstellen nach ergibt:
kann aus der Knoten und Maschengleichung aus Aufgabe 2.1 ermittelt werden:
Damit lässt sich der Bereich für ermitteln:
Alternativ kann über den Stromteiler ausgerechnet werden.
Aufgabe 08-4:
Eine Füllstandsmessanlage für einen Wassertank liefert ein Signal =0…10 V entsprechend 0...100 % Füllstand. Aus diesem Signal soll für die Verarbeitung in einer Steuerung das logische Signal "Tank ist wenigstens 70 % voll" erzeugt werden. Um ein dauerndes Umschalten durch evtl. Schwappen des Wassers zu verhindern, soll das Signal bei erstmalig 75 gesetzt und bei erstmalig 65 zurückgesetzt werden. Für diese Aufgabe wird folgende Schaltung mit einem Operationsverstärker eingesetzt:
Ermitteln Sie die Verhältnisse, die die Widerstände bis zueinander haben müssen; gehen Sie für die Berechnung davon aus, dass ist.
Die Ausgangsspannung des OP ist durch dessen inneren Aufbau auf begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.
Lösung
Zunächst sollte die Hysterese Kurve des Verstärkers aufgestellt werden. Zusätzlich sollten die gegebenen Größen in eine Beziehung zueinander gebracht werden.
Dafür werden in das Netzwerk Knoten und Maschen gelegt.
Knoten:
Maschen:
Durch Einsetzen der Maschengleichungen in die Knotengleichung ergibt sich:
Für die Spannung gilt:
Durch die Betrachtung der Schaltstelle vereinfacht sich die bisherige Gleichung:
Laut Aufgabenstellung gilt daher folgt für den Strom durch den Widerstand:
Die Spannung kann nun mittels des Spannungsteilers bezüglich und berechnet werden:
Einsetzen ergibt:
Das Eingangssignal für ergibt sich zu:
Da nur zwei Werte, und annehmen kann, ergibt sich für die Schaltpunkte, bei und (Beachte Hysterese Kurve):
Gleichsetzen liefert das Verhältnis der Widerstände:
Aufgabe 08-5:
Gegeben ist die untenstehende Schaltung mit einem idealen Operationsverstärker.
Die Eingangsspannung lautet . Sie kennen die folgenden Zahlenwerte:
5.1 Geben Sie für die Schaltung die komplexe Übertragungsfunktion an.
5.2 Wie lautet für gegen 0 ?
5.3 Wie lautet für gegen unendlich ?
Lösung 5.1
Es sind in der Schaltung Beziehungen zu suchen, die zwischen und einen Zusammenhang erzeugen. Dazu werden Gleichungen aufgestellt, die die Schaltung beschreiben.
I:
II:
III:
III in I und I in II:
nach umstellen:
einsetzen der Werte:
Die Impedanz der Kapazität C ergibt sich zu:
, für und
Lösung 5.2
Lösung 5.3
Related content
Institut für Mechatronik im Maschinenbau (iMEK), Eißendorfer Straße 38, 21073 Hamburg