Lösungen - OP

Aufgabe 08-1:

Die nachstehende Operationsverstärkerschaltung ist zu untersuchen:

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1.1    Der Schalter S steht in Stellung „1" (offen). Es Ist =10 k.
        Finden Sie einen Ausdruck für die Ausgangsspannung und bestimmen Sie  und , so dass gilt:
        
1.2   Der Schalter S steht in Stellung „0" (geschlossen). Es ist 
       Wie groß muss  gewählt werden, damit für  die Spannung  beträgt?
1.3   Der Schalter steht in Stellung „1" (offen). Es ist 
        Welche maximale positive Spannung  und welche minimale Spannung  können am Ausgang auftreten, wenn  und  unabhängig voneinander im Bereich
 und  liegen.

Lösung 1.1

Um die Aufgabe zu lösen, müssen die gesuchten sowie die gegebenen Größen und Beziehungen in einen Zusammenhang gebracht werden. Dazu werden mehrere Knoten und Maschen in das Netzwerk gelegt. 

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Die Knotengleichungen lauten:

Die Maschengleichungen lauten:

Einsetzen der Maschen I bis III in den Knoten 1 ergibt:

Umformen nach   ergibt:

Es muss nun also gelten:

Diese Vorgehen nennt sich Koeffizientenvergleich, da es nur so für beliebige Werte der Spannungen möglichv ist, dass die Ausgangsspannung die vorgegebenen Werte annimmt.

Aufgabe 1.2

Lösung 1.2

Wie in der vorherigen Aufgabe müssen die gesuchten und gegebenen Größen in einen zusammenhang gesetzt werden. Dazu wird in das Netzwerk ein weiterer Knoten gelegt

Die Knotengleichungen lauten:

Durch Umformen und Einsetzen der  bereits bekannten Beziehungen ergibt  sich:                                                                                                                   

   ist der Ersatzwiderstand aus   und  

Einsetzen der bereits bekannten Werte und anschließendes umformen führt zu der Form:

Aus der Definition des Ersatzwiderstandes folgt der gesuchte Widerstand:

Lösung 1.3

Aus dem vorherigen Aufgabenteilen sind die folgenden Beziehungen bekannt:

Durch geschicktes umformen können die Gleichungen nach   umgestellt werden:

Die daraus folgende Abhängigkeit ergibt, das  für minimale Werte von und maximale Werte und für maximale Werte von  und minimale Werte annimmt.

Aufgabe 08-2:

Schmitt-Trigger

Gegeben ist die nachfolgende Operationsverstärkerschaltung, bei der der Ausgang auf den nicht-invertierenden Eingang rückgeführt wird.

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Gehen Sie davon aus, dass Ihnen die Versorgungsspannungen des Operationsverstärkers U_B+ und U_B- und die Widerstände R₁ und R₂ bekannt sind.

2.1 Bestimmen Sie die positive und die negative Schaltschwelle in Abhängigkeit der gegebenen Größen.

Nun gilt: U_B+=12 V, U_B-=-12 V und R₁=1 kΩ.

2.2 Bestimmen Sie R₂, sodass für die Schaltschwellen |U_s+|=|U_s-|=3 V gilt.
2.3 Zeichnen Sie die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

Lösung 2.1:

Der Operationsverstärker wird in Mittkopplung betrieben. Aus diesem Grund kann die Ausgangsspannung nur 2 stabile Werte annehmen: Die positive und die negative Versorgungsspannung des Operationsverstärkers.
Da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverstärkers angeschlossen ist, liegt die maximale Ausgangsspannung bei hohen positiven Eingangsspannungen vor,
während die maximale negative Ausgangsspannung bei hohen negativen Eingangsspannungen vorliegt. Der Wechsel findet jedoch nicht bei U_e=0 V statt, sondern bei abweichenden Spannungen, da dauerhaft ein Teil
Ausgangsspannung auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird und im Unterschied zur Gegenkopplung daher nicht dauerhaft U₊=U_- gilt.
Der Wechsel zwischen den beiden Ausgangsspannungen findet statt, wenn die Differenzspannung zwischen den Eingängen des Operationsverstärkers 0V beträgt.
Dieser Wechsel findet bei zwei verschiedenen Eingangsspannung U_e statt, je nachdem, ob der Operationsverstärker zuvor die maximale oder minimale Ausgangsspannung aufweist.

Daher ist ein Ausdruck erforderlich, welcher U_e, U_a und die Differenzspannung über den Eingängen des Operationsverstärkers enthält.
Dazu werden die in folgender Abbildung eingezeichnet 2 Maschen- und die eine Knotengleichen aufgestellt.

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Die Maschengleichungen lauten:

Die Knotengleichung lautet:

Wie üblich, werden nun die Maschengleichungen nach dem Strom aufgelöst und in die Knotengleichung eingesetzt:

Die Eingangsspannung U_e, bei welcher der Wechsel zwischen den beiden Ausgangszuständen stattfindet ergibt sich durch Umformung dieser Gleichung nach U_e:

Zu dem Zeitpunkt, wo der Wechsel stattfindet, gilt U_D=0 V!

Damit ergeben sich die beiden Schaltschwellen zu:

Dei dem positiven Wert von U_s wechselt U_a vom negativen Maximalwert in den positiven Maximalwert. Bei dem negativen Wert von U_s genau anders herum.

Lösung 2.2

Nun gilt: U_B+=12 V, U_B-=-12 V und R₁=1 kΩ.

Diese Werte werden in den Ausdruck für U_s eingesetzt und dieser wird anschließend nach R₂ umgestellt. Damit ergibt sich:

Lösung 2.3

Die folgende Abbildung zeigt die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

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Liegt eine hohe Eingangsspannung vor, hat der Schmitt-Trigger die Sättigungsausgangsspannung von 12 V. (Diese Spannung ist positiv, da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang angeführt wird.)
Solange die Eingangsspannung über -3V liegt, kann der Schmitt-Trigger nur die positive Ausgangsspannung aufweisen, da dauerhaft +3V auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird.
Erst, wenn die Eingangsspannung unter -3V sinkt, wird auch die Ausgangsspannung negativ.

Im anderen Fall, wenn eine hohe negative Eingangsspannung vorliegt, gelten die gleichen Zusammenhänge - jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.

Aufgabe 08-3:

Für eine Messschaltung wird eine Konstantstromquelle benötigt. Der Strom  kann in folgender Schaltung durch den Operationsverstärker in weiten Grenzen konstant auf 20 mA gehalten werden.

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Gegeben: 

Annahme: Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers ist durch dessen inneren Aufbau auf  begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.

Ermitteln Sie:
3.1  den Wert für Widerstand .
3.2  den Bereich von , für den der Strom konstant gehalten werden kann.

Lösung 3.1

Es ist ein Zusammenhang zwischen den gegebenen und gesuchten Größen herzustellen. Zu beachten ist, dass es sich gegebenen Fall um eine Gegenkopplung handelt

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Die Knotengleichungen lauten:

Maschen:

Einsetzen der Maschen- in die Knotengleichung ergibt:

Umformen ergibt  :

Aus dem Netzwerk wird ersichtlich, das unter den üblichen Vereinfachungen für den Operationsverstärker gelten muss: Zudem bedingt sich für die Spannung die über den Widerstand abfällt  Somit lässt sich der Widerstand   bestimmen:

Lösung 3.2

Der Zusammenhang zwischen   und der variablen Spannung     kann über eine Masche ermittelt werden:

Umstellen nach   ergibt:

  kann aus der Knoten und Maschengleichung aus Aufgabe 2.1 ermittelt werden:

Damit lässt sich der Bereich für   ermitteln:

Alternativ kann  über den Stromteiler ausgerechnet werden.

Aufgabe 08-4:

Eine Füllstandsmessanlage für einen Wassertank liefert ein Signal =0…10 V entsprechend 0...100 % Füllstand. Aus diesem Signal soll für die Verarbeitung in einer Steuerung das logische Signal "Tank ist wenigstens 70 % voll" erzeugt werden. Um ein dauerndes Umschalten durch evtl. Schwappen des Wassers zu verhindern, soll das Signal bei erstmalig  75  gesetzt und bei erstmalig  65  zurückgesetzt werden. Für diese Aufgabe wird folgende Schaltung mit einem Operationsverstärker eingesetzt:

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Ermitteln Sie die Verhältnisse, die die Widerstände  bis zueinander haben müssen; gehen Sie für die Berechnung davon aus, dass  ist. 
Die Ausgangsspannung des OP ist durch dessen inneren Aufbau auf  begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.

Lösung

Zunächst sollte die Hysterese Kurve des Verstärkers aufgestellt werden.   Zusätzlich sollten die gegebenen Größen in eine Beziehung zueinander gebracht werden.
Dafür werden in das Netzwerk Knoten und Maschen gelegt.

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Knoten:

Maschen:

Durch Einsetzen der Maschengleichungen in die Knotengleichung ergibt sich:

Für die Spannung   gilt:

Durch die Betrachtung der Schaltstelle vereinfacht sich die bisherige Gleichung:

Laut Aufgabenstellung gilt   daher folgt für den Strom durch den Widerstand:

Die Spannung    kann nun mittels des Spannungsteilers bezüglich und    berechnet werden:

Einsetzen ergibt:

Das Eingangssignal für   ergibt sich zu:

Da   nur zwei Werte,   und   annehmen kann, ergibt sich für die Schaltpunkte, bei  und   (Beachte Hysterese Kurve):

Gleichsetzen liefert das Verhältnis der Widerstände:

Aufgabe 08-5:

Gegeben ist die untenstehende Schaltung mit einem idealen Operationsverstärker. 
Die Eingangsspannung lautet . Sie kennen die folgenden Zahlenwerte:

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5.1 Geben Sie für die Schaltung die komplexe Übertragungsfunktion  an.

5.2 Wie lautet  für  gegen 0 ?

5.3 Wie lautet  für  gegen unendlich ?

Lösung 5.1

Es sind in der Schaltung Beziehungen zu suchen, die zwischen   und    einen Zusammenhang erzeugen. Dazu werden Gleichungen aufgestellt, die die Schaltung beschreiben.

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I:

II:

III:

III in I und I in II:

nach umstellen:

einsetzen der Werte:

Die Impedanz der Kapazität C ergibt sich zu:

 , für und

Lösung 5.2

Lösung 5.3