Lösungen - DIO

Aufgabe 06-1:

Gegeben ist die folgende Dioden-Schaltung mit zwei realen Dioden, zwei Widerständen und zwei Spannungsquellen.

Open

Sie kennen die folgenden Werte:

Ermitteln Sie, welche der Dioden leiten und berechnen Sie die Ströme durch die beiden Dioden.

Lösung:

Bei Betrachtung der Verschaltungsrichtung der Dioden und der gegebenen Spannungsrichtung und der daraus normalerweise resultierenden Stromflussrichtungen in den Zweigen, wird die Annahme getroffen, dass Diode 1 leitet und Diode 2 sperrt.
Dies Annahme liegt darin begründet, dass aufgrund der positiven Spannung im linken Zweig der Strom in der Mitte vermutlich "nach unten" fließt, während er im rechten Zweig vermutlich (aufgrund der negativen Quellspannung) nach unten und damit entgegen der Durchlassrichtung von Diode 2 fließen würde.

Aus der Annahme folgt direkt:

Durch Umformen der linken Maschengleichung ergibt sich:

Nun muss überprüft werden, ob die Annahme korrekt ist und bei dem errechneten Strom Diode 2 tatsächlich sperrt. Dies könnte über die große Masche außenherum überprüft werden.
Hier wird aber die rechte Masche genutzt, da über den linken Zweig eben die gleiche Spannung wie über Diode 1 abfällt und der Mittelzweig weniger Gleichungsterme enthält.
Damit ergibt sich folgende Maschengleichung:

Mit folgt:

Damit ist nachgewiesen, dass Diode 2 sperrt und die Annahme war korrekt. Damit fließt auch im mittleren Zweig der gleiche Strom wie oben links und es gilt:

Aufgabe 06-2:

Es soll eine Schaltung zur Spannungsstabilisierung mit einer Zenerdiode entworfen werden, die folgende Bedingungen erfüllt:

Open

Für die Zenerdiode gilt:  (typ.  von ) 

Berechnen Sie die Widerstände  und  sowie die maximale Verlustleistung der Zenerdiode.

Lösung:

Der Widerstand   ergibt sich aus der am Widerstand anliegenden Spannung   und den fließenden Strom :

Die minimal und maximal Werte von  ergeben zwei Extremwerte für den Widerstand:

Um den Widerstand zu bestimmen, muss in einem ersten Schritt ein Ausdruck gefunden werden, der die verschiedenen Einflussgrößen beinhaltet.
Der Widerstand   wird ebenfalls über die anliegende Spannung und den fließenden Strom bestimmt. Diese müssen jedoch zunächst bestimmt werden. Der Strom   kann mittels eines Knotens bestimmt werden:

Die anliegende Spannung wird über eine Masche bestimmt:

Der Widerstand kann nun berechnet werden als:

Dabei sind prinzipiell zwei verschiedene Aufgaben des Vorwiderstands zu berücksichtigen, die zu zwei verschiedenen Werten (dem Minimalwert und dem Maximalwert) führen. Da im Ausdruck für drei verschiedene variable Größen (, , ) enthalten sind, muss von jeder Größe der Einfluss qualifiziert werden. Der Wert von muss garantieren, dass die Zenerdiode in keinem Betriebszustand (Kombination aus den drei variabken Größen) defekt werden kann. Außerdem soll gesichert sein, dass in jedem Betriebszustand ihre Funktion gewährleistet ist.

Defekt würde die Zenerdiode, wenn ein Strom größer durch sie fließe. Der ungünstigste Fall wäre dabei, wenn die maximale Eingangsspannung anliegen würde (diese würde prinzipiell die größtmöglichen Ströme hervorrufen) und zusätzlich kein Strom durch fließt. Dann würde der größtmögliche Strom durch die Zenerdiode fließen. Alle anderen möglichen Kombinationen der variablen Größen würden ein kleineres bewirken und damit auch die Sicherheit garantieren. Damit ergibt sich der minimale Wert für zu:

Der maximale Wert von ist notwendig, um bei jeder möglichen Kombination der variablen Größen zu garantieren, dass ein Strom größer durch die Zenerdiode fließt. Kleinere Werte von würden dann garantieren, dass genug Strom durch die Zenerdiode fließt. Der ungünstigste Fall für niedrige Ströme liegt bei der niedrigsten Eingangsspannung vor und wenn der größtmögliche Strom nicht durch die Zenerdiode fließt. Damit ergibt sich der maximale Wert für zu:

Wichtige Anmerkung: Eine "rein mathematische" Minimierung/Maximierung des Terms für durch Minimierung/Maximierung des Zähler/Nenners würden dazu führen, dass es Betriebszustände geben kann, die die Zenerdiode zerstören und den Betrieb nicht erlauben, da der resultierende Bereich wesentlich größer als der tatsächlich zulässige Bereich ist.

Die maximale Verlustleistung  ermittelt sich gemäß:

Wegen einer spezifischen Rückfrage im Wintersemester 2020/21 zu dieser Aufgabe, wurde ein ergänzendes Erklärvideo aufgenommen.

Aufgabe 06-3:

Gegeben ist eine Schaltung zur Spannungsgleichrichtung.

und  bilden ein Drehspannungssystem. Gehen Sie hierbei vor, als handele es sich um ein Wechselstromsystem mit den folgenden Gleichungen für die Spannungen:

3.1 Zeichnen Sie die Spannungen ! Zeichnen Sie dazu die resultierende gleichgerichtete Spannung !

3.2 Berechnen Sie den arithmetischem Mittelwert der Spannung !

Lösung 3.1

Die Gleichrichtung führt dazu, dass immer nur der positive Spannungsanteil aller 3 Wechselspannungen am Widerstand anliegt. Da ferner alle 3 Spannungen in gleicher Weise auf den Widerstand geschaltet werden, ergibt sich die Spannung am Widerstand immer als die größte der drei positiven Wechselspannungshalbwellen. Damit ergibt sich das folgende Bild für die gleichgerichtete Spannung, die damit bereits einen vergleichsweise konstanten Wert erreicht und damit eine leicht schwingende Gleichspannung darstellt.

Lösung 3.2

Der arithmetische Mittelwert einer Spannung ermittelt sich gemäß der Gleichung:

Für den vorliegenden Fall müssen jeweils nur die oberen "Gipfel" der Sinusspannungen betrachtet und gemittelt werden. Unter der Berücksichtigung von

ändern sich dann die Integrationsgrenzen und es ergibt sich für den Mittelwert der Spannung:

(Hinweis: Alternativ hätte auch u(1) in Abhängigkeit des Phasenwinkels aufgestellt werden können und über den Phasenwinkel von 30° bis 150° integriert werden können, sodass die zahlreichen Omegas vermieden werden.)

Für die Spannung gilt damit: