Lösungen - OP

Aufgabe 09-1:

Die nachstehende Operationsverstärkerschaltung ist zu untersuchen:

1.1    Der Schalter S steht in Stellung „1" (offen). Es Ist =10 k.
        Finden Sie einen Ausdruck für die Ausgangsspannung und bestimmen Sie  und , so dass gilt:
        
1.2   Der Schalter S steht in Stellung „0" (geschlossen). Es ist 
       Wie groß muss  gewählt werden, damit für  die Spannung  beträgt?
1.3   Der Schalter steht in Stellung „1" (offen). Es ist 
        Welche maximale positive Spannung  und welche minimale Spannung  können am Ausgang auftreten, wenn  und  unabhängig voneinander im Bereich
 und  liegen.

Lösung 1.1

Um die Aufgabe zu lösen, müssen die gesuchten sowie die gegebenen Größen und Beziehungen in einen Zusammenhang gebracht werden. Dazu werden mehrere Knoten und Maschen in das Netzwerk gelegt. 

Die Knotengleichungen lauten:

Die Maschengleichungen lauten:

Lösung 1.2

Wie in der vorherigen Aufgabe müssen die gesuchten und gegebenen Größen in einen zusammenhang gesetzt werden. Dazu wird in das Netzwerk ein weiterer Knoten gelegt

Die Knotengleichungen lauten:

Durch Umformen und Einsetzen der  bereits bekannten Beziehungen ergibt  sich:                                                                                                                   

   ist der Ersatzwiderstand aus   und  

Einsetzen der bereits bekannten Werte und anschließendes umformen führt zu der Form:

Aus der Definition des Ersatzwiderstandes folgt der gesuchte Widerstand:

Lösung 1.3

Aus dem vorherigen Aufgabenteilen sind die folgenden Beziehungen bekannt:

Durch geschicktes umformen können die Gleichungen nach   umgestellt werden:

Die daraus folgende Abhängigkeit ergibt, das  für minimale Werte von und maximale Werte und für maximale Werte von  und minimale Werte annimmt.

Aufgabe 08-2:

Schmitt-Trigger

Gegeben ist die nachfolgende Operationsverstärkerschaltung, bei der der Ausgang auf den nicht-invertierenden Eingang rückgeführt wird.

Gehen Sie davon aus, dass Ihnen die Versorgungsspannungen des Operationsverstärkers U_B+ und U_B- und die Widerstände R₁ und R₂ bekannt sind.

2.1 Bestimmen Sie die positive und die negative Schaltschwelle in Abhängigkeit der gegebenen Größen.

Nun gilt: U_B+=12 V, U_B-=-12 V und R₁=1 kΩ.

2.2 Bestimmen Sie R₂, sodass für die Schaltschwellen |U_s+|=|U_s-|=3 V gilt.
2.3 Zeichnen Sie die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

Lösung 2.1:

Der Operationsverstärker wird in Mittkopplung betrieben. Aus diesem Grund kann die Ausgangsspannung nur 2 stabile Werte annehmen: Die positive und die negative Versorgungsspannung des Operationsverstärkers.
Da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverstärkers angeschlossen ist, liegt die maximale Ausgangsspannung bei hohen positiven Eingangsspannungen vor,
während die maximale negative Ausgangsspannung bei hohen negativen Eingangsspannungen vorliegt. Der Wechsel findet jedoch nicht bei U_e=0 V statt, sondern bei abweichenden Spannungen, da dauerhaft ein Teil
Ausgangsspannung auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird und im Unterschied zur Gegenkopplung daher nicht dauerhaft U₊=U_- gilt.
Der Wechsel zwischen den beiden Ausgangsspannungen findet statt, wenn die Differenzspannung zwischen den Eingängen des Operationsverstärkers 0V beträgt.
Dieser Wechsel findet bei zwei verschiedenen Eingangsspannung U_e statt, je nachdem, ob der Operationsverstärker zuvor die maximale oder minimale Ausgangsspannung aufweist.

Daher ist ein Ausdruck erforderlich, welcher U_e, U_a und die Differenzspannung über den Eingängen des Operationsverstärkers enthält.
Dazu werden die in folgender Abbildung eingezeichnet 2 Maschen- und die eine Knotengleichen aufgestellt.

Die Maschengleichungen lauten:

Die Knotengleichung lautet:

Wie üblich, werden nun die Maschengleichungen nach dem Strom aufgelöst und in die Knotengleichung eingesetzt:

Die Eingangsspannung U_e, bei welcher der Wechsel zwischen den beiden Ausgangszuständen stattfindet ergibt sich durch Umformung dieser Gleichung nach U_e:

Zu dem Zeitpunkt, wo der Wechsel stattfindet, gilt U_D=0 V!

Damit ergeben sich die beiden Schaltschwellen zu:

Dei dem positiven Wert von U_s wechselt U_a vom negativen Maximalwert in den positiven Maximalwert. Bei dem negativen Wert von U_s genau anders herum.

Lösung 2.2

Nun gilt: U_B+=12 V, U_B-=-12 V und R₁=1 kΩ.

Diese Werte werden in den Ausdruck für U_s eingesetzt und dieser wird anschließend nach R₂ umgestellt. Damit ergibt sich:

Lösung 2.3

2.3 Zeichnung der Kennlinie

Die folgende Abbildung zeigt die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

Liegt eine hohe Eingangsspannung vor, hat der Schmitt-Trigger die Sättigungsausgangsspannung von 12 V. (Diese Spannung ist positiv, da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang angeführt wird.)
Solange die Eingangsspannung über -3V liegt, kann der Schmitt-Trigger nur die positive Ausgangsspannung aufweisen, da dauerhaft +3V auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird.
Erst, wenn die Eingangsspannung unter -3V sinkt, wird auch die Ausgangsspannung negativ.

Im anderen Fall, wenn eine hohe negative Eingangsspannung vorliegt, gelten die gleichen Zusammenhänge - jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.