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Aufgabe

...

08-1:

Die nachstehende Operationsverstärkerschaltung ist zu untersuchen:

...

Mathinline
body--uriencoded--I\hspace%7B2ex%7D I_2 \cdot R_2 = U_2 \Rightarrow I_2 = \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D\\ II\hspace%7B2ex%7D I_1 \cdot R_1 = U_1 \Rightarrow I_1 = \frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D\\ III\hspace%7B2ex%7D I_3 \cdot R_3 = - U_\mathrm A \Rightarrow I_3 = -\frac%7BU_\mathrm A%7D%7BR_3%7D\\

Lösung 1.2

Wie in der vorherigen Aufgabe müssen die gesuchten und gegebenen Größen in einen zusammenhang gesetzt werden. Dazu wird in das Netzwerk ein weiterer Knoten gelegt

Die Knotengleichungen lautenEinsetzen der Maschen I bis III in den Knoten 1 ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D 2: \hspace%7B2ex%7DI_1 + I_2 - I_\mathrm %7Bers%7D begin%7Baligned%7D \frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D + \frac %7BU_A%7D%7BR_3%7D = 0\\ \end%7Bgather*%7D end%7Baligned%7D

Durch Umformen und Einsetzen der  bereits bekannten Beziehungen ergibt  sich:                                                                                                                   

Mathinlinebody--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D Umformen nach

Mathinline
bodyU_A
  ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Baligned%7D \frac%7BU_\mathrm A%7D%7BR_3%7D = - \frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D + - \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D = - \frac%7BU_A%7D%7BR_\mathrm %7Bers%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D \end%7Baligned%7D

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Baligned%7D \(RRightarrow U_\mathrm %7Bers%7D\)
   ist der Ersatzwiderstand aus
Mathinline
body\(R_3\)
  und
Mathinline
bodyR_4:
 
A= -U_1 \cdot \frac%7BR_3%7D%7BR_1%7D -U_2 \cdot \frac%7BR_3%7D%7BR_2%7D \overset%7B!%7D%7B=%7D-10\cdot U_1 -4\cdot U_2\ \end%7Baligned%7D

Es muss nun also gelten:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bers%7D 10 = \frac%7BR_3%7D%7BR_31%7D \cdot Rightarrow R_4%7D%7BR_3 + R_4%7D \end%7Bgather*%7D

Einsetzen der bereits bekannten Werte und anschließendes umformen führt zu der Form:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7Bers%7D = - \frac%7BU_\mathrm A%7D%7B\frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D%7D = - \frac%7B10\,\mathrm%7BV%7D%7D%7B\frac%7B-12\, \mathrm%7BV%7D%7D%7B5\, \mathrm k\Omega%7D +\frac%7B-12\, \mathrm%7BV%7D%7D%7B2\, \mathrm k\Omega%7D%7D = 1,2\, \mathrm k\Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Aus der Definition des Ersatzwiderstandes folgt der gesuchte Widerstand

1 = \frac%7BR_3%7D%7B10%7D = 1 \, \mathrm k \Omega\\ 4 = \frac%7BR_3%7D%7BR_2%7D \Rightarrow R_2 = \frac%7BR_3%7D%7B4%7D = 2,5\, \mathrm k \Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Diese Vorgehen nennt sich Koeffizientenvergleich, da es nur so für beliebige Werte der Spannungen möglichv ist, dass die Ausgangsspannung die vorgegebenen Werte annimmt.

Aufgabe 1.2

Lösung 1.2

Wie in der vorherigen Aufgabe müssen die gesuchten und gegebenen Größen in einen zusammenhang gesetzt werden. Dazu wird in das Netzwerk ein weiterer Knoten gelegt

Die Knotengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R2: \hspace%7B2ex%7DI_1 + I_2 - I_\mathrm %7Bers%7D = 0\frac%7BR_3\cdot R_4%7D%7BR_3 + R_4%7D<=> R_4 = \frac%7BR_\mathrm %7Bers%7D\cdot R_3%7D%7BR_3 - R_\mathrm %7Bers%7D%7D\approx 1,36 \, \mathrm k\Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 1.3

Aus dem vorherigen Aufgabenteilen sind die folgenden Beziehungen bekannt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1 + I_2 - I_3 = 0 \\ I_1 \cdot R_1 = U_1\\ I_2 \cdot R_2 = U_2\\ I_3 \cdot R_3 = -U_\mathrm A\\ \end%7Bgather*%7D

Durch geschicktes umformen können die Gleichungen nach

\ \end%7Bgather*%7D

Durch Umformen und Einsetzen der  bereits bekannten Beziehungen ergibt  sich:                                                                                                                   

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D = - \frac%7BU_A%7D%7BR_\mathrm %7Bers%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body--uriencoded--\(R_\mathrm %7Bers%7D\)
   ist der Ersatzwiderstand aus
Mathinline
body\(UR_\mathrm A3\)
  umgestellt werden:und
Mathinline
bodyR_4:
 

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7DU%7D R_\mathrm A = - R%7Bers%7D = \frac%7BR_3\cdot \left( \frac%7BU_1 %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D \right)\\R_4%7D%7BR_3 + R_4%7D \end%7Bgather*%7D
Die daraus folgende Abhängigkeit ergibt, das

Einsetzen der bereits bekannten Werte und anschließendes umformen führt zu der Form:

Mathinline
body\(U--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm A\)
 für minimale Werte von
Mathinline
body\(U_1\)
und
Mathinline
body\(U_2\)
maximale Werte und für maximale Werte von
Mathinline
body\(U_1\)
 und
Mathinline
body\(U_2\)
minimale Werte annimmt.
Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_\mathrm %7BA+%7D = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_\mathrm %7B1min%7D %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm %7B2min%7D%7D%7BR_2%7D \right) = -10 %7Bers%7D = - \frac%7BU_\mathrm A%7D%7B\frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D%7D = - \frac%7B10\,\mathrm%7BV%7D%7D%7B\frac%7B-12\, \mathrm%7BV%7D%7D%7B5\, \mathrm k\Omega%7D +\frac%7B-12\, \mathrm%7BV%7D%7D%7B2\, \mathrm k\Omega%7D%7D = 1,2\, \mathrm k\Omega\cdot\ left( \frac%7B-10 \, \mathrm%7BV%7D %7D%7B50 \, \mathrm k\Omega%7D + \frac%7B-10 \, \mathrm%7BV%7D%7D%7B20 \end%7Bgather*%7D

Aus der Definition des Ersatzwiderstandes folgt der gesuchte Widerstand:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7Bers%7D = \frac%7BR_3\cdot R_4%7D%7BR_3 + R_4%7D<=> R_4 = \frac%7BR_\mathrm %7Bers%7D\cdot R_3%7D%7BR_3 - R_\mathrm %7Bers%7D%7D\approx 1,36 \, \mathrm k\Omega%7D Omega\right) = 7\ , \mathrm%7BV%7D\\ U_\mathrm %7BA-%7D = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_\mathrm %7B1max%7D %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm %7B2max%7D%7D%7BR_2%7D \right) = -10 \, \mathrm k\Omega \cdot\left( \frac%7B10\, \mathrm%7BV%7D %7D%7B50 \, \mathrm k\Omega%7D + \frac%7B10 \, \mathrm%7BV%7D%7D%7B20 \, \mathrm k\Omega%7D \right) = - 7\, \mathrm%7BV%7D\end%7Bgather*%7D

Lösung 1.3

Aus dem vorherigen Aufgabenteilen sind die folgenden Beziehungen bekannt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1 + I_2 - I_3 = 0 \\ I_1 \cdot R_1 = U_1\\ I_2 \cdot R_2 = U_2\\ I_3 \cdot R_3 = -U_\mathrm A\\ \end%7Bgather*%7D

Durch geschicktes umformen können die Gleichungen nach

Mathinline
body\(U_\mathrm A\)
  umgestellt werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7DU_\mathrm A = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_1 %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D \right)\\\end%7Bgather*%7D

Aufgabe 08-2:

Schmitt-Trigger

Gegeben ist die nachfolgende Operationsverstärkerschaltung, bei der der Ausgang auf den nicht-invertierenden Eingang rückgeführt wird.

...

Gehen Sie davon aus, dass Ihnen die Versorgungsspannungen des Operationsverstärkers UB+ und UB- und die Widerstände R1 und R2 bekannt sind.

2.1 Bestimmen Sie die positive und die negative Schaltschwelle in Abhängigkeit der gegebenen Größen.

Nun gilt: UB+=12 V, UB-=-12 V und R1=1 kΩ.

2.2 Bestimmen Sie R2, sodass für die Schaltschwellen |Us+|=|Us-|=3 V gilt.
2.3 Zeichnen Sie die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

Lösung 2.1:

Der Operationsverstärker wird in Mittkopplung betrieben. Aus diesem Grund kann die Ausgangsspannung nur 2 stabile Werte annehmen: Die positive und die negative Versorgungsspannung des Operationsverstärkers.
Da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverstärkers angeschlossen ist, liegt die maximale Ausgangsspannung bei hohen positiven Eingangsspannungen vor,
während die maximale negative Ausgangsspannung bei hohen negativen Eingangsspannungen vorliegt. Der Wechsel findet jedoch nicht bei Ue=0 V statt, sondern bei abweichenden Spannungen, da dauerhaft ein Teil
Ausgangsspannung auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird und im Unterschied zur Gegenkopplung daher nicht dauerhaft U+=U- gilt.
Der Wechsel zwischen den beiden Ausgangsspannungen findet statt, wenn die Differenzspannung zwischen den Eingängen des Operationsverstärkers 0V beträgt.
Dieser Wechsel findet bei zwei verschiedenen Eingangsspannung Ue statt, je nachdem, ob der Operationsverstärker zuvor die maximale oder minimale Ausgangsspannung aufweist.

Daher ist ein Ausdruck erforderlich, welcher Ue, Ua und die Differenzspannung über den Eingängen des Operationsverstärkers enthält.
Dazu werden die in folgender Abbildung eingezeichnet 2 Maschen- und die eine Knotengleichen aufgestellt.

...

Die Maschengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--MI: \hspace%7B3ex%7D -U_ \mathrm e+I_1 \cdot R_1+U_ \mathrm D =0 \\ MII: \hspace%7B3ex%7D -U_ \mathrm a + I_2\cdot R_2 + U_ \mathrm D = 0

Die Knotengleichung lautet:

Mathinline
body--uriencoded--KI: \hspace%7B3ex%7D I_1 + I_2= I_+ =0

Wie üblich, werden nun die Maschengleichungen nach dem Strom aufgelöst und in die Knotengleichung eingesetzt:

Mathinline
body--uriencoded--\frac%7BU_\mathrm e - U_ \mathrm D%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm a - U_ \mathrm D%7D%7BR_2%7D = 0

Die Eingangsspannung Ue, bei welcher der Wechsel zwischen den beiden Ausgangszuständen stattfindet ergibt sich durch Umformung dieser Gleichung nach Ue:

Mathinline
body--uriencoded--U_\mathrm e= -\frac%7BR_1%7D%7BR_2%7D\cdot U_\mathrm a + U_\mathrm D(1+ \frac%7BR_1%7D%7BR_2%7D)

Zu dem Zeitpunkt, wo der Wechsel stattfindet, gilt UD=0 V!

Damit ergeben sich die beiden Schaltschwellen zu:

Mathinline
body--uriencoded--%7CU_\mathrm s%7C= \frac%7BR_1%7D%7BR_2%7D\cdot U_\mathrm B

Dei dem positiven Wert von Us wechselt Ua vom negativen Maximalwert in den positiven Maximalwert. Bei dem negativen Wert von Us genau anders herum.

Lösung 2.2

Nun gilt: UB+=12 V, UB-=-12 V und R1=1 kΩ.

Diese Werte werden in den Ausdruck für Us eingesetzt und dieser wird anschließend nach R2 umgestellt. Damit ergibt sichDie daraus folgende Abhängigkeit ergibt, das

Mathinline
body\(U_\mathrm A\)
 für minimale Werte von
Mathinline
body\(U_1\)
und
Mathinline
body\(U_2\)
maximale Werte und für maximale Werte von
Mathinline
body\(U_1\)
 und
Mathinline
body\(U_2\)
minimale Werte annimmt.

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_\mathrm %7BA+%7D = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_\mathrm %7B1min%7D %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm %7B2min%7D%7D%7BR_2%7D \right) = -10 \, \mathrm k\Omega \cdot\left( \frac%7B-10 \, \mathrm%7BV%7D %7D%7B50 \, \mathrm k\Omega%7D + \frac%7B-10 \, \mathrm%7BV%7D%7D%7B20 \, \mathrm k\Omega%7D \right) = 7\, \mathrm%7BV%7D\\ U_\mathrm %7BA-%7D = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_\mathrm %7B1max%7D %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm %7B2max%7D%7D%7BR_2%7D \right) = -10 \, \mathrm k\Omega \cdot\left( \frac%7B10\, \mathrm%7BV%7D %7D%7B50 \, \mathrm k\Omega%7D + \frac%7B10 \, \mathrm%7BV%7D%7D%7B20 \, \mathrm k\Omega%7D \right) = - 7\, \mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 08-2:

Schmitt-Trigger

Gegeben ist die nachfolgende Operationsverstärkerschaltung, bei der der Ausgang auf den nicht-invertierenden Eingang rückgeführt wird.

...

Gehen Sie davon aus, dass Ihnen die Versorgungsspannungen des Operationsverstärkers UB+ und UB- und die Widerstände R1 und R2 bekannt sind.

2.1 Bestimmen Sie die positive und die negative Schaltschwelle in Abhängigkeit der gegebenen Größen.

Nun gilt: UB+=12 V, UB-=-12 V und R1=1 kΩ.

2.2 Bestimmen Sie R2, sodass für die Schaltschwellen |Us+|=|Us-|=3 V gilt.
2.3 Zeichnen Sie die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

Lösung 2.1:

Der Operationsverstärker wird in Mittkopplung betrieben. Aus diesem Grund kann die Ausgangsspannung nur 2 stabile Werte annehmen: Die positive und die negative Versorgungsspannung des Operationsverstärkers.
Da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang des Operationsverstärkers angeschlossen ist, liegt die maximale Ausgangsspannung bei hohen positiven Eingangsspannungen vor,
während die maximale negative Ausgangsspannung bei hohen negativen Eingangsspannungen vorliegt. Der Wechsel findet jedoch nicht bei Ue=0 V statt, sondern bei abweichenden Spannungen, da dauerhaft ein Teil
Ausgangsspannung auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird und im Unterschied zur Gegenkopplung daher nicht dauerhaft U+=U- gilt.
Der Wechsel zwischen den beiden Ausgangsspannungen findet statt, wenn die Differenzspannung zwischen den Eingängen des Operationsverstärkers 0V beträgt.
Dieser Wechsel findet bei zwei verschiedenen Eingangsspannung Ue statt, je nachdem, ob der Operationsverstärker zuvor die maximale oder minimale Ausgangsspannung aufweist.

Daher ist ein Ausdruck erforderlich, welcher Ue, Ua und die Differenzspannung über den Eingängen des Operationsverstärkers enthält.
Dazu werden die in folgender Abbildung eingezeichnet 2 Maschen- und die eine Knotengleichen aufgestellt.

...

Die Maschengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--MI: \hspace%7B3ex%7D -U_ \mathrm e+I_1 \cdot R_1+U_ \mathrm D =0 \\ MII: \hspace%7B3ex%7D -U_ \mathrm a + I_2\cdot R_2 + U_ \mathrm D = 0

Die Knotengleichung lautet:

Mathinline
body--uriencoded--KI: \hspace%7B3ex%7D I_1 + I_2= I_+ =0

Wie üblich, werden nun die Maschengleichungen nach dem Strom aufgelöst und in die Knotengleichung eingesetzt:

Mathinline
body--uriencoded--R_2= R_1\cdot \frac%7BU_\mathrm e - U_ \mathrm D%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm %7BB%7D%7D%7BUa - U_ \mathrm s%7D= 1 \mathrm k\Omega \cdot \frac%7B12 \mathrm V%7D%7B3 \mathrm V%7D= 4\mathrm k\Omega

Lösung 2.3

Die folgende Abbildung zeigt die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

...

Liegt eine hohe Eingangsspannung vor, hat der Schmitt-Trigger die Sättigungsausgangsspannung von 12 V. (Diese Spannung ist positiv, da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang angeführt wird.)
Solange die Eingangsspannung über -3V liegt, kann der Schmitt-Trigger nur die positive Ausgangsspannung aufweisen, da dauerhaft +3V auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird.
Erst, wenn die Eingangsspannung unter -3V sinkt, wird auch die Ausgangsspannung negativ.

Im anderen Fall, wenn eine hohe negative Eingangsspannung vorliegt, gelten die gleichen Zusammenhänge - jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.

D%7D%7BR_2%7D = 0

Die Eingangsspannung Ue, bei welcher der Wechsel zwischen den beiden Ausgangszuständen stattfindet ergibt sich durch Umformung dieser Gleichung nach Ue:

Mathinline
body--uriencoded--U_\mathrm e= -\frac%7BR_1%7D%7BR_2%7D\cdot U_\mathrm a + U_\mathrm D(1+ \frac%7BR_1%7D%7BR_2%7D)

Zu dem Zeitpunkt, wo der Wechsel stattfindet, gilt UD=0 V!

Damit ergeben sich die beiden Schaltschwellen zu:

Mathinline
body--uriencoded--%7CU_\mathrm s%7C= \frac%7BR_1%7D%7BR_2%7D\cdot U_\mathrm B

Dei dem positiven Wert von Us wechselt Ua vom negativen Maximalwert in den positiven Maximalwert. Bei dem negativen Wert von Us genau anders herum.

Lösung 2.2

Nun gilt: UB+=12 V, UB-=-12 V und R1=1 kΩ.

Diese Werte werden in den Ausdruck für Us eingesetzt und dieser wird anschließend nach R2 umgestellt. Damit ergibt sich:

Mathinline
body--uriencoded--R_2= R_1\cdot \frac%7BU_\mathrm %7BB%7D%7D%7BU_\mathrm s%7D= 1 \mathrm k\Omega \cdot \frac%7B12 \mathrm V%7D%7B3 \mathrm V%7D= 4\mathrm k\Omega

Lösung 2.3

Die folgende Abbildung zeigt die Kennlinie dieses Schmitt-Triggers.

...

Liegt eine hohe Eingangsspannung vor, hat der Schmitt-Trigger die Sättigungsausgangsspannung von 12 V. (Diese Spannung ist positiv, da die Eingangsspannung an den nicht-invertierenden Eingang angeführt wird.)
Solange die Eingangsspannung über -3V liegt, kann der Schmitt-Trigger nur die positive Ausgangsspannung aufweisen, da dauerhaft +3V auf den positiven Eingang rückgekoppelt wird.
Erst, wenn die Eingangsspannung unter -3V sinkt, wird auch die Ausgangsspannung negativ.

Im anderen Fall, wenn eine hohe negative Eingangsspannung vorliegt, gelten die gleichen Zusammenhänge - jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.

Aufgabe 08-3:

Für eine Messschaltung wird eine Konstantstromquelle benötigt. Der Strom 

Mathinline
bodyi_L
 kann in folgender Schaltung durch den Operationsverstärker in weiten Grenzen konstant auf 20 mA gehalten werden.

...

Gegeben: 

Mathinline
bodyI_L=20\;mA; U_Z=\;4,7\;V; R_2=\;1\;k\Omega; R_3=\;50\;\Omega

Annahme: Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers ist durch dessen inneren Aufbau auf 

Mathinline
body-13 V\lt U_A\lt +13 V
 begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.

Ermitteln Sie:
3.1  den Wert für Widerstand 

Mathinline
bodyR_1
.
3.2  den Bereich von 
Mathinline
bodyR_L
, für den der Strom
Mathinline
bodyi_L
konstant gehalten werden kann.

Lösung 3.1

Es ist ein Zusammenhang zwischen den gegebenen und gesuchten Größen herzustellen. Zu beachten ist, dass es sich gegebenen Fall um eine Gegenkopplung handelt

...


Die Knotengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D1\hspace%7B2ex%7D I_\mathrm L = I_2 + I_3\\\end%7Bgather*%7D

Maschen:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I \hspace%7B2ex%7D - I_2\cdot R_2 + I_3\cdot R_3 = 0 \Rightarrow I_3 = I_2\cdot \frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen der Maschen- in die Knotengleichung ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_\mathrm L = I_2 +I_2\cdot \frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D = 21 \cdot I_2\\ \end%7Bgather*%7D

Umformen ergibt

Mathinline
bodyI_2
 :

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2 = \frac%7BI_\mathrm L%7D%7B21%7D = \frac%7B20%7D%7B21%7D\, \mathrm m\mathrm%7BA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Aus dem Netzwerk wird ersichtlich, das unter den üblichen Vereinfachungen für den Operationsverstärker gelten muss:

Mathinline
bodyI_2 = I_1
Zudem bedingt sich für die Spannung die über den Widerstand
Mathinline
body\(R_1\)
abfällt
Mathinline
body--uriencoded--U_1 = 4,7\,\mathrm%7BV%7D
  Somit lässt sich der Widerstand
Mathinline
body\(R_1\)
  bestimmen:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_1 =\frac%7B_1%7D%7BI_1%7D = \frac%7B4,7\, \mathrm %7BV%7D%7D%7B\frac%7B20%7D%7B21%7D\, \mathrm m\mathrm%7BA%7D%7D\approx4,935 \, \mathrm k\Omega\\ \end%7Bgather*%7D
 

Lösung 3.2

Der Zusammenhang zwischen

Mathinline
body\(R_\mathrm L\)
  und der variablen Spannung
Mathinline
body\(U_\mathrm A\)
    kann über eine Masche ermittelt werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_\mathrm A = I_\mathrm L\cdot R_\mathrm L + I_3\cdot R_3\\ \end%7Bgather*%7D

Umstellen nach

Mathinline
body\(R_\mathrm L\)
  ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm L = \frac%7BU_\mathrm A- I_3\cdot R_3%7D%7BI_\mathrm L%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body\(I_3\)
  kann aus der Knoten und Maschengleichung aus Aufgabe 2.1 ermittelt werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = I_2\cdot\frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D \Rightarrow I_2 = I_3\cdot\frac%7BR_3%7D%7BR_2%7D\\ I_2 =\frac %7BI_\mathrm L%7D%7B21%7D = \frac%7B20%7D%7B21%7D\, \mathrm%7BmA%7D\\ I_3 = \frac %7BI_\mathrm L%7D%7B21%7D \cdot \frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D = \frac%7B20%7D%7B21%7D\cdot I_\mathrm L =\frac%7B400%7D%7B21%7D\, \mathrm%7BmA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Damit lässt sich der Bereich für

Mathinline
body\(R_\mathrm L\)
  ermitteln:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7BLmax%7D = \frac%7BU_\mathrm %7BAmax%7D -I_3 \cdot R_3 %7D%7BI_\mathrm L%7D = \frac%7B13 \, \mathrm%7BV%7D- 50\, \Omega\cdot \frac%7B400%7D%7B21%7D\mathrm%7BmA%7D%7D%7B20 \, \mathrm%7BmA%7D%7D= 602,38\, \Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7BLmin%7D = 0\\ \end%7Bgather*%7D

Alternativ kann 
Mathinline
body--uriencoded-- I_2 = R_3/(R_2 + R_3) \cdot I_\mathrm L \hspace%7B2ex%7D \mathrm %7Bund%7D \hspace%7B2ex%7D I_3 = R_2/(R_2 + R_3)\cdot I_\mathrm L
 über den Stromteiler ausgerechnet werden.

Aufgabe 08-4:

Eine Füllstandsmessanlage für einen Wassertank liefert ein Signal 

Mathinline
bodyU_E
=0…10 V entsprechend 0...100 % Füllstand. Aus diesem Signal soll für die Verarbeitung in einer Steuerung das logische Signal "Tank ist wenigstens 70 % voll" erzeugt werden. Um ein dauerndes Umschalten durch evtl. Schwappen des Wassers zu verhindern, soll das Signal bei erstmalig 
Mathinline
body\gt
 75 
Mathinline
body\%
 gesetzt und bei erstmalig 
Mathinline
body\lt
 65 
Mathinline
body\%
 zurückgesetzt werden. Für diese Aufgabe wird folgende Schaltung mit einem Operationsverstärker eingesetzt:

...

Ermitteln Sie die Verhältnisse, die die Widerstände 

Mathinline
bodyR_1
bis
Mathinline
bodyR_4
zueinander haben müssen; gehen Sie für die Berechnung davon aus, dass 
Mathinline
bodyR_4 \gg R_2 ,R_3
 ist. 
Die Ausgangsspannung des OP ist durch dessen inneren Aufbau auf 
Mathinline
body-13 \mathrm V \lt U_A\lt +13 \mathrm V
begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.

Lösung

Zunächst sollte die Hysterese Kurve des Verstärkers aufgestellt werden.   Zusätzlich sollten die gegebenen Größen in eine Beziehung zueinander gebracht werden.
Dafür werden in das Netzwerk Knoten und Maschen gelegt.

...


Knoten:

Mathinline
body--uriencoded--1\hspace%7B3ex%7D I_1 + I_2 = - I_4

Maschen:

Mathinline
body--uriencoded--I\hspace%7B3ex%7D U_E = R_1\cdot I_1 + U_D <=> I_1 =\frac%7BU_E-U_D%7D%7BR_1%7D\\ II\hspace%7B3ex%7D -7\mathrm%7BV%7D= R_1\cdot I_2 + U_D <=> I_2 =\frac%7B-7\mathrm%7BV%7D-U_D%7D%7BR_1%7D\\ III\hspace%7B3ex%7D U_3 = R_4\cdot I_4 + U_D <=> I_4 =\frac%7BU_3- U_D%7D%7BR_4%7D\\

Durch Einsetzen der Maschengleichungen in die Knotengleichung ergibt sich:

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body--uriencoded--\frac%7BU_E-U_D%7D%7BR_1%7D + \frac%7B-7\mathrm%7BV%7D-U_D%7D%7BR_1%7D = -\frac%7BU_3-U_D%7D%7BR_4%7D\\ \iff \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D - \frac%7B2\cdot U_D%7D%7BR_1%7D = \frac%7BU_D%7D%7BR_4%7D - \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D\\ \iff U_D\cdot\left (\frac%7B1%7D%7BR_4%7D + \frac%7B2%7D%7BR_1%7D\right) = \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D\\

Für die Spannung

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body\(U_D\)
  gilt:

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body\begin{aligned} U_D= \begin{cases} > 0 ; U_A = U_{Amax} \\ \hspace{20ex} => Schaltstelle\hspace{2ex} U_D=0\\ < 0 ; U_A = U_{Amin} \\ \end{cases} \end{aligned}

Durch die Betrachtung der Schaltstelle vereinfacht sich die bisherige Gleichung:

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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D 0 = \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D <=> \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D = - \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Laut Aufgabenstellung gilt

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body\(R_4 >> R_2, R_3,\)
  daher folgt für den Strom durch den Widerstand:
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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_4\approx 0\\ \end%7Bgather*%7D

Die Spannung

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body\(U_3\)
   kann nun mittels des Spannungsteilers bezüglich
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body \(R_2\)
und
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body\(R_3\)
   berechnet werden:

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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_3 = \frac%7BR_3%7D%7BR_2 + R_3%7D\cdot U_A\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen ergibt:

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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D = - \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D = \frac%7B-R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D\cdot U_A\\ \end%7Bgather*%7D

Das Eingangssignal für

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body\(U_D = 0\)
  ergibt sich zu:

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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_E = - U_A\cdot \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D + 7 \mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Da

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body\(U_A\)
  nur zwei Werte,
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body--uriencoded--\(U_%7BAmin%7D\)
  und
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body--uriencoded--\(U_%7BAmax%7D\)
  annehmen kann, ergibt sich für die Schaltpunkte, bei
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body--uriencoded--U_%7BEan%7D = 7,5 \mathrm%7BV%7D
 und
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body--uriencoded--U_%7BEaus%7D = 6,5 \mathrm%7BV%7D
  (Beachte Hysterese Kurve):

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \hspace%7B5ex %7D U_%7BEan%7D= - U_%7BAmin%7D \cdot \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D + 7 \mathrm%7BV%7D = 7,5 \mathrm%7BV%7D\\ \hspace%7B5ex %7DU_%7BEaus%7D = - U_%7BAmax%7D \cdot \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D + 7 \mathrm%7BV%7D = 6,5 \mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Gleichsetzen liefert das Verhältnis der Widerstände:

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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D = \frac%7B0,5%7D%7B13%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 08-5:

Gegeben ist die untenstehende Schaltung mit einem idealen Operationsverstärker. 
Die Eingangsspannung lautet 

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bodyu_e=U_{e0}\cdot \cos\omega t
. Sie kennen die folgenden Zahlenwerte:
Mathinline
bodyR_1=R_2=R_3=1\;k\Omega;\;\;\;\;\; C=1\; \mu F

...

5.1 Geben Sie für die Schaltung die komplexe Übertragungsfunktion 

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body--uriencoded--f (\omega)= \frac%7B\underline U_\mathrm a%7D%7B\underline U_\mathrm e%7D
 an.

5.2 Wie lautet 

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body--uriencoded--f= \frac%7B\underline U_\mathrm a%7D%7B\underline U_\mathrm e%7D
für 
Mathinline
body\omega
 gegen 0 ?

5.3 Wie lautet 

Mathinline
body--uriencoded--f= \frac%7B\underline U_\mathrm a%7D%7B\underline U_\mathrm e%7D
für 
Mathinline
body\omega
 gegen unendlich ?

Lösung 5.1

Es sind in der Schaltung Beziehungen zu suchen, die zwischen

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body--uriencoded--\(\underline%7BU_a%7D\)
  und
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body--uriencoded--\( \underline %7BU_e%7D\)
   einen Zusammenhang erzeugen. Dazu werden Gleichungen aufgestellt, die die Schaltung beschreiben.

...

I:

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body--uriencoded-- \begin%7Baligned%7D \underline%7BI%7D_1R_1=\underline%7BI%7D_2R_2 \rightarrow \underline%7BI%7D_1 = \frac%7BR_2%7D%7BR_1%7D\underline%7BI%7D_2 \end%7Baligned%7D

II:

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body--uriencoded--\begin%7Baligned%7D \underline%7BU%7D_e = \underline%7BI%7D_1R_1+\underline%7BI%7D_1R_3+\underline%7BU%7D_a \end%7Baligned%7D

III:

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body--uriencoded--\underline%7BU%7D_e = \underline%7BI%7D_2R_2+\underline%7BI%7D_2\underline%7BZ%7D_c \rightarrow \underline%7BI%7D_2 = \frac%7B\underline%7BU%7D_e%7D%7BR_2+\underline%7BZ%7D_c%7D

III in I und I in II:

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body--uriencoded--\begin%7Baligned%7D \underline%7BI%7D_1 = \frac%7B\underline%7BU%7D_eR_2%7D%7BR_1(R2+Z_c)%7D \end%7Baligned%7D

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Baligned%7D \underline%7BU%7D_e = \frac%7BR_1R_2\underline%7BU_e%7D%7D%7BR_1(R_2+Z_c)%7D+\frac%7BR_2R_3\underline%7BU_e%7D%7D%7BR_1(R_2+Z_c)%7D+U_a \end%7Baligned%7D

nach

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body--uriencoded--\underline%7BU%7D_a/\underline%7BU%7D_e
umstellen:

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body\begin{aligned} \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = 1- \frac{R_1R_2+R_2R_3}{R_1(R_2+Z_c)} \end{aligned}

einsetzen der Werte:

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body\begin{aligned}\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e}=1-\frac{2000}{(1000+Z_c)}\end{aligned}

Die Impedanz der Kapazität C ergibt sich zu:

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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D Z_C = -j\cdot\frac%7B1%7D%7B\omega\cdot\mathrm%7BC%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D\\
 , für
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body--uriencoded--\omega\rightarrow0:Z_%7BC%7D=-j\infty
und
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body\omega \rightarrow \infty: Z_C = 0

Lösung 5.2

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body\frac{U_a}{U_e}(\omega \rightarrow 0)=1 \rightarrow U_a = U_e

Lösung 5.3

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body\frac{U_a}{U_e}(\omega \rightarrow \infty)=-1 \rightarrow U_a = -U_e