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Aufgabe 09-1:

Die nachstehende Operationsverstärkerschaltung ist zu untersuchen:

...

9.1    Der Schalter S steht in Stellung „1" (offen). Es Ist 

Mathinline
bodyR_3
=10 k
Mathinline
body\Omega
.
        Finden Sie einen Ausdruck für die Ausgangsspannung und bestimmen Sie 
Mathinline
bodyR_1
 und 
Mathinline
bodyR_2
, so dass gilt:
        
Mathinline
bodyU_A=-10\;U_1-4\;U_2

9.2   Der Schalter S steht in Stellung „0" (geschlossen). Es ist 
Mathinline
bodyR_1=5\;k\Omega,R_2=2\;k\Omega,R_3=10\;k\Omega

       Wie groß muss 
Mathinline
bodyR_4
 gewählt werden, damit für 
Mathinline
bodyU_1=U_2=-12\; V
 die Spannung 
Mathinline
bodyU_A =10\; V
 beträgt?
9.3   Der Schalter steht in Stellung „1" (offen). Es ist 
Mathinline
bodyR_1=50\;k\Omega,R_2=20\;k\Omega,R_3=10\;k\Omega

        Welche maximale positive Spannung 
Mathinline
bodyU_{A+}
 und welche minimale Spannung 
Mathinline
bodyU_{A-}
 können am Ausgang auftreten, wenn 
Mathinline
bodyU_1
 und 
Mathinline
bodyU_2
 unabhängig voneinander im Bereich
Mathinline
body-10\;V\lt U_1\lt10\;V
 und 
Mathinline
body-10\;V\lt U_2\lt10\;V
 liegen.

Lösung 9.1

Um die Aufgabe zu lösen, müssen die gesuchten sowie die gegebenen Größen und Beziehungen in einen Zusammenhang gebracht werden. Dazu werden mehrere Knoten und Maschen in das Netzwerk gelegt. 

...

Die Knotengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D 1: \hspace%7B2ex%7DI_1 + I_2 - I_3 = 0\\ \end%7Bgather*%7D

Die Maschengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--I\hspace%7B2ex%7D I_2 \cdot R_2 = U_2 \Rightarrow I_2 = \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D\\ II\hspace%7B2ex%7D I_1 \cdot R_1 = U_1 \Rightarrow I_1 = \frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D\\ III\hspace%7B2ex%7D I_3 \cdot R_3 = - U_\mathrm A \Rightarrow I_3 = -\frac%7BU_\mathrm A%7D%7BR_3%7D\\

Lösung 9.2

Wie in der vorherigen Aufgabe müssen die gesuchten und gegebenen Größen in einen zusammenhang gesetzt werden. Dazu wird in das Netzwerk ein weiterer Knoten gelegt

Die Knotengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D 2: \hspace%7B2ex%7DI_1 + I_2 - I_\mathrm %7Bers%7D = 0\\ \end%7Bgather*%7D

Durch Umformen und Einsetzen der  bereits bekannten Beziehungen ergibt  sich:                                                                                                                   

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D = - \frac%7BU_A%7D%7BR_\mathrm %7Bers%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body--uriencoded--\(R_\mathrm %7Bers%7D\)
   ist der Ersatzwiderstand aus
Mathinline
body\(R_3\)
  und
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bodyR_4:
 

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bers%7D = \frac%7BR_3\cdot R_4%7D%7BR_3 + R_4%7D \end%7Bgather*%7D

Einsetzen der bereits bekannten Werte und anschließendes umformen führt zu der Form:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7Bers%7D = - \frac%7BU_\mathrm A%7D%7B\frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D%7D = - \frac%7B10\,\mathrm%7BV%7D%7D%7B\frac%7B-12\, \mathrm%7BV%7D%7D%7B5\, \mathrm k\Omega%7D +\frac%7B-12\, \mathrm%7BV%7D%7D%7B2\, \mathrm k\Omega%7D%7D = 1,2\, \mathrm k\Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Aus der Definition des Ersatzwiderstandes folgt der gesuchte Widerstand:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7Bers%7D = \frac%7BR_3\cdot R_4%7D%7BR_3 + R_4%7D<=> R_4 = \frac%7BR_\mathrm %7Bers%7D\cdot R_3%7D%7BR_3 - R_\mathrm %7Bers%7D%7D\approx 1,36 \, \mathrm k\Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.3

Aus dem vorherigen Aufgabenteilen sind die folgenden Beziehungen bekannt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1 + I_2 - I_3 = 0 \\ I_1 \cdot R_1 = U_1\\ I_2 \cdot R_2 = U_2\\ I_3 \cdot R_3 = -U_\mathrm A\\ \end%7Bgather*%7D

Durch geschicktes umformen können die Gleichungen nach

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body\(U_\mathrm A\)
  umgestellt werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7DU_\mathrm A = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_1 %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D \right)\\\end%7Bgather*%7D

Die daraus folgende Abhängigkeit ergibt, das

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body\(U_\mathrm A\)
 für minimale Werte von
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body\(U_1\)
und
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body\(U_2\)
maximale Werte und für maximale Werte von
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body\(U_1\)
 und
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body\(U_2\)
minimale Werte annimmt.

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body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_\mathrm %7BA+%7D = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_\mathrm %7B1min%7D %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm %7B2min%7D%7D%7BR_2%7D \right) = -10 \, \mathrm k\Omega \cdot\left( \frac%7B-10 \, \mathrm%7BV%7D %7D%7B50 \, \mathrm k\Omega%7D + \frac%7B-10 \, \mathrm%7BV%7D%7D%7B20 \, \mathrm k\Omega%7D \right) = 7\, \mathrm%7BV%7D\\ U_\mathrm %7BA-%7D = - R_3\cdot \left( \frac%7BU_\mathrm %7B1max%7D %7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_\mathrm %7B2max%7D%7D%7BR_2%7D \right) = -10 \, \mathrm k\Omega \cdot\left( \frac%7B10\, \mathrm%7BV%7D %7D%7B50 \, \mathrm k\Omega%7D + \frac%7B10 \, \mathrm%7BV%7D%7D%7B20 \, \mathrm k\Omega%7D \right) = - 7\, \mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D