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Im anderen Fall, wenn eine hohe negative Eingangsspannung vorliegt, gelten die gleichen Zusammenhänge - jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen.

Aufgabe 08-3:

Für eine Messschaltung wird eine Konstantstromquelle benötigt. Der Strom 

Mathinline
bodyi_L
 kann in folgender Schaltung durch den Operationsverstärker in weiten Grenzen konstant auf 20 mA gehalten werden.

...

Gegeben: 

Mathinline
bodyI_L=20\;mA; U_Z=\;4,7\;V; R_2=\;1\;k\Omega; R_3=\;50\;\Omega

Annahme: Die Ausgangsspannung des Operationsverstärkers ist durch dessen inneren Aufbau auf 

Mathinline
body-13 V\lt U_A\lt +13 V
 begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.

Ermitteln Sie:
3.1  den Wert für Widerstand 

Mathinline
bodyR_1
.
3.2  den Bereich von 
Mathinline
bodyR_L
, für den der Strom
Mathinline
bodyi_L
konstant gehalten werden kann.

Lösung 3.1

Es ist ein Zusammenhang zwischen den gegebenen und gesuchten Größen herzustellen. Zu beachten ist, dass es sich gegebenen Fall um eine Gegenkopplung handelt

...


Die Knotengleichungen lauten:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D1\hspace%7B2ex%7D I_\mathrm L = I_2 + I_3\\\end%7Bgather*%7D

Maschen:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I \hspace%7B2ex%7D - I_2\cdot R_2 + I_3\cdot R_3 = 0 \Rightarrow I_3 = I_2\cdot \frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen der Maschen- in die Knotengleichung ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_\mathrm L = I_2 +I_2\cdot \frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D = 21 \cdot I_2\\ \end%7Bgather*%7D

Umformen ergibt

Mathinline
bodyI_2
 :

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2 = \frac%7BI_\mathrm L%7D%7B21%7D = \frac%7B20%7D%7B21%7D\, \mathrm m\mathrm%7BA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Aus dem Netzwerk wird ersichtlich, das unter den üblichen Vereinfachungen für den Operationsverstärker gelten muss:

Mathinline
bodyI_2 = I_1
Zudem bedingt sich für die Spannung die über den Widerstand
Mathinline
body\(R_1\)
abfällt
Mathinline
body--uriencoded--U_1 = 4,7\,\mathrm%7BV%7D
  Somit lässt sich der Widerstand
Mathinline
body\(R_1\)
  bestimmen:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_1 =\frac%7B_1%7D%7BI_1%7D = \frac%7B4,7\, \mathrm %7BV%7D%7D%7B\frac%7B20%7D%7B21%7D\, \mathrm m\mathrm%7BA%7D%7D\approx4,935 \, \mathrm k\Omega\\ \end%7Bgather*%7D
 

Lösung 3.2

Der Zusammenhang zwischen

Mathinline
body\(R_\mathrm L\)
  und der variablen Spannung
Mathinline
body\(U_\mathrm A\)
    kann über eine Masche ermittelt werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_\mathrm A = I_\mathrm L\cdot R_\mathrm L + I_3\cdot R_3\\ \end%7Bgather*%7D

Umstellen nach

Mathinline
body\(R_\mathrm L\)
  ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm L = \frac%7BU_\mathrm A- I_3\cdot R_3%7D%7BI_\mathrm L%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body\(I_3\)
  kann aus der Knoten und Maschengleichung aus Aufgabe 2.1 ermittelt werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = I_2\cdot\frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D \Rightarrow I_2 = I_3\cdot\frac%7BR_3%7D%7BR_2%7D\\ I_2 =\frac %7BI_\mathrm L%7D%7B21%7D = \frac%7B20%7D%7B21%7D\, \mathrm%7BmA%7D\\ I_3 = \frac %7BI_\mathrm L%7D%7B21%7D \cdot \frac%7BR_2%7D%7BR_3%7D = \frac%7B20%7D%7B21%7D\cdot I_\mathrm L =\frac%7B400%7D%7B21%7D\, \mathrm%7BmA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Damit lässt sich der Bereich für

Mathinline
body\(R_\mathrm L\)
  ermitteln:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7BLmax%7D = \frac%7BU_\mathrm %7BAmax%7D -I_3 \cdot R_3 %7D%7BI_\mathrm L%7D = \frac%7B13 \, \mathrm%7BV%7D- 50\, \Omega\cdot \frac%7B400%7D%7B21%7D\mathrm%7BmA%7D%7D%7B20 \, \mathrm%7BmA%7D%7D= 602,38\, \Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_\mathrm %7BLmin%7D = 0\\ \end%7Bgather*%7D

Alternativ kann 
Mathinline
body--uriencoded-- I_2 = R_3/(R_2 + R_3) \cdot I_\mathrm L \hspace%7B2ex%7D \mathrm %7Bund%7D \hspace%7B2ex%7D I_3 = R_2/(R_2 + R_3)\cdot I_\mathrm L
 über den Stromteiler ausgerechnet werden.

Aufgabe 08-4:

Eine Füllstandsmessanlage für einen Wassertank liefert ein Signal 

Mathinline
bodyU_E
=0…10 V entsprechend 0...100 % Füllstand. Aus diesem Signal soll für die Verarbeitung in einer Steuerung das logische Signal "Tank ist wenigstens 70 % voll" erzeugt werden. Um ein dauerndes Umschalten durch evtl. Schwappen des Wassers zu verhindern, soll das Signal bei erstmalig 
Mathinline
body\gt
 75 
Mathinline
body\%
 gesetzt und bei erstmalig 
Mathinline
body\lt
 65 
Mathinline
body\%
 zurückgesetzt werden. Für diese Aufgabe wird folgende Schaltung mit einem Operationsverstärker eingesetzt:

...

Ermitteln Sie die Verhältnisse, die die Widerstände 

Mathinline
bodyR_1
bis
Mathinline
bodyR_4
zueinander haben müssen; gehen Sie für die Berechnung davon aus, dass 
Mathinline
bodyR_4 \gg R_2 ,R_3
 ist. 
Die Ausgangsspannung des OP ist durch dessen inneren Aufbau auf 
Mathinline
body-13 \mathrm V \lt U_A\lt +13 \mathrm V
begrenzt; die Leerlaufverstärkung sei unendlich.

Lösung

Zunächst sollte die Hysterese Kurve des Verstärkers aufgestellt werden.   Zusätzlich sollten die gegebenen Größen in eine Beziehung zueinander gebracht werden.
Dafür werden in das Netzwerk Knoten und Maschen gelegt.

...


Knoten:

Mathinline
body--uriencoded--1\hspace%7B3ex%7D I_1 + I_2 = - I_4

Maschen:

Mathinline
body--uriencoded--I\hspace%7B3ex%7D U_E = R_1\cdot I_1 + U_D <=> I_1 =\frac%7BU_E-U_D%7D%7BR_1%7D\\ II\hspace%7B3ex%7D -7\mathrm%7BV%7D= R_1\cdot I_2 + U_D <=> I_2 =\frac%7B-7\mathrm%7BV%7D-U_D%7D%7BR_1%7D\\ III\hspace%7B3ex%7D U_3 = R_4\cdot I_4 + U_D <=> I_4 =\frac%7BU_3- U_D%7D%7BR_4%7D\\

Durch Einsetzen der Maschengleichungen in die Knotengleichung ergibt sich:

Mathinline
body--uriencoded--\frac%7BU_E-U_D%7D%7BR_1%7D + \frac%7B-7\mathrm%7BV%7D-U_D%7D%7BR_1%7D = -\frac%7BU_3-U_D%7D%7BR_4%7D\\ \iff \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D - \frac%7B2\cdot U_D%7D%7BR_1%7D = \frac%7BU_D%7D%7BR_4%7D - \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D\\ \iff U_D\cdot\left (\frac%7B1%7D%7BR_4%7D + \frac%7B2%7D%7BR_1%7D\right) = \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D\\

Für die Spannung

Mathinline
body\(U_D\)
  gilt:

Mathinline
body--uriencoded--U_D= \begin%7Bcases%7D > 0 ; U_A = U_%7BAmax%7D \\ \hspace%7B20ex%7D => Schaltstelle\hspace%7B2ex%7D U_D=0\\ < 0 ; U_A = U_%7BAmax%7D \\ \end%7Bcases%7D

Durch die Betrachtung der Schaltstelle vereinfacht sich die bisherige Gleichung:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D 0 = \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D + \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D <=> \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D = - \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Laut Aufgabenstellung gilt

Mathinline
body\(R_4 >> R_2, R_3,\)
  daher folgt für den Strom durch den Widerstand:
Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_4\approx 0\\ \end%7Bgather*%7D

Die Spannung

Mathinline
body\(U_3\)
   kann nun mittels des Spannungsteilers bezüglich
Mathinline
body \(R_2\)
und
Mathinline
body\(R_3\)
   berechnet werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_3 = \frac%7BR_3%7D%7BR_2 + R_3%7D\cdot U_A\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_E-7\mathrm%7BV%7D%7D%7BR_1%7D = - \frac%7BU_3%7D%7BR_4%7D = \frac%7B-R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D\cdot U_A\\ \end%7Bgather*%7D

Das Eingangssignal für

Mathinline
body\(U_D = 0\)
  ergibt sich zu:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_E = - U_A\cdot \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D + 7 \mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Da

Mathinline
body\(U_A\)
  nur zwei Werte,
Mathinline
body--uriencoded--\(U_%7BAmin%7D\)
  und
Mathinline
body--uriencoded--\(U_%7BAmax%7D\)
  annehmen kann, ergibt sich für die Schaltpunkte, bei
Mathinline
body--uriencoded--U_%7BEan%7D = 7,5 \mathrm%7BV%7D
 und
Mathinline
body--uriencoded--U_%7BEaus%7D = 6,5 \mathrm%7BV%7D
  (Beachte Hysterese Kurve):

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \hspace%7B5ex %7D U_%7BEan%7D= - U_%7BAmin%7D \cdot \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D + 7 \mathrm%7BV%7D = 7,5 \mathrm%7BV%7D\\ \hspace%7B5ex %7DU_%7BEaus%7D = - U_%7BAmax%7D \cdot \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D + 7 \mathrm%7BV%7D = 6,5 \mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Gleichsetzen liefert das Verhältnis der Widerstände:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BR_1\cdot R_3%7D%7BR_4\cdot(R_2 + R_3)%7D = \frac%7B0,5%7D%7B13%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 08-5:

Gegeben ist die untenstehende Schaltung mit einem idealen Operationsverstärker. 
Die Eingangsspannung lautet 

Mathinline
bodyu_e=U_{e0}\cdot \cos\omega t
. Sie kennen die folgenden Zahlenwerte:
Mathinline
bodyR_1=R_2=R_3=1\;k\Omega;\;\;\;\;\; C=1\; \mu F

...

5.1 Geben Sie für die Schaltung die komplexe Übertragungsfunktion 

Mathinline
body--uriencoded--f (\omega)= \frac%7B\underline U_\mathrm a%7D%7B\underline U_\mathrm e%7D
 an.

5.2 Wie lautet 

Mathinline
body--uriencoded--f= \frac%7B\underline U_\mathrm a%7D%7B\underline U_\mathrm e%7D
für 
Mathinline
body\omega
 gegen 0 ?

5.3 Wie lautet 

Mathinline
body--uriencoded--f= \frac%7B\underline U_\mathrm a%7D%7B\underline U_\mathrm e%7D
für 
Mathinline
body\omega
 gegen unendlich ?

5.3 Es sei 

Mathinline
body\omega=1/(CR_2)
. Geben Sie für diesen Fall 
Mathinline
body|U_a|=f|U_e|
 an.

5.4 Skizzieren Sie die Phasenverschiebung 

Mathinline
body\varphi
 zwischen 
Mathinline
body(\underline U_a)
und 
Mathinline
body(\underline U_e)
als Funktion der Frequenz. 

Lösung 5.1

Es sind in der Schaltung Beziehungen zu suchen, die zwischen

Mathinline
body--uriencoded--\(\underline%7BU_a%7D\)
  und
Mathinline
body--uriencoded--\( \underline %7BU_e%7D\)
   einen Zusammenhang erzeugen. Dazu werden Gleichungen aufgestellt, die die Schaltung beschreiben.
Die Impedanz der Kapazität C ergibt sich zu:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D Z_C = -j\cdot\frac%7B1%7D%7B\omega\cdot\mathrm%7BC%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D\\
 

Da es sich bei der gegebenen Schaltung um eine Gegenkopplung handelt, gilt außerdem:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_+ = U_-\\ \end%7Bgather*%7D

Die Spannung

Mathinline
body\(U_+\)
 kann mittels des Spannungsteilers bezüglich
Mathinline
body--uriencoded--R_2 \hspace%7B2ex%7D Z_C
ermittelt werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_%7B+%7D=\frac%7BZ_C%7D%7BR_2+Z_C%7D\cdot U_e =\frac%7B1%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D\cdot U_e \\ \end%7Bgather*%7D

Die Spannung

Mathinline
body\(U_-\)
muss mithilfe des Überlagerungsverfahrens bestimmt werden, indem erst die Spannung
Mathinline
body\(U_e\)
  und anschließend die Spannung
Mathinline
body\(U_a\)
   nicht beachtet wird. Die gesuchte Spannung kann mithilfe des Spannungsteilers ermittelt werden.

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_e=0 \\ U_-%5e%7B'%7D=\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body--uriencoded-- \begin%7Bgather*%7D U_a=0\\ U_-%7B''%7D=\frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_e\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_-=U_-%7B'%7D+U_-%7B"%7D =\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a + \frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_e\\ \end%7Bgather*%7D

Gleichsetzen von

Mathinline
body\(U_+\)
  und
Mathinline
body\(U_-\)
ergibt:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7B1%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D\cdot U_e =\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a+\frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_e \\ <=> U_e \cdot (\frac%7B1%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D - \frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D)=\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a \\ <=> \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D=\frac%7BR_1+R_3%7D%7BR_1 \cdot (1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2)%7D-\frac%7BR_3%7D%7BR_1%7D=\frac%7B2%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D-1\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 5.2

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D(\omega \rightarrow 0)=1 => U_a = U_e \\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 5.3

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D(\omega \rightarrow \infty)=-1 => U_a = - U_e \\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 5.4

Allgemein gilt für die komplexe Darstellung

Mathinline
body--uriencoded--\(\underline%7BZ%7D=%7Cz%7C\cdot e%5e%7B(j \cdot φ)%7D.\)
   Die Übertragungsfunktion kann in die entsprechende Form gebracht werden:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D=\frac%7B2%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D-1 =\frac%7B2-(1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2)%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D=\frac%7B1-j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D\\ G(\omega)=\frac%7B\sqrt%7B1%5e2 +(-j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2)%5e2%7D%7D%7B\sqrt%7B1%5e2 +(j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2)%5e2%7D%7D\cdot e%5e%7Bartan(\frac%7B-\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D)-artan(\frac%7B\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D)%7D=1 \cdot e%5e%7B-2artan(\frac%7B\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D)%7D\\ =%7CG(\omega)%7C\cdot e%5e%7B φ(\omega)%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Somit ergibt sich für die Phasenverschiebung in Abhängigkeit der Frequenz:

Mathinline
body--uriencoded--\begin%7Bgather*%7D φ(\omega)=-2 \cdot artan\left(\frac%7B\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D\right)\\ \end%7Bgather*%7D

Durch das bestimmen charakteristischer Werte ergeben sich genügend Punkte, um den Verlauf zu skizieren.

Mathinline
body--uriencoded-- φ(0)=0\\ φ(\infty) = -2 \cdot 90%5e%7B\circ%7D=-180%5e%7B\circ%7D\\ φ(\frac%7B1%7D%7BR_2 \cdot C%7D)= -2 \cdot 45 %5e%7B\circ%7D= -90%5e%7B\circ%7D\\

...