DC Widerstandsnetzwerke

Aufgabe 03-1:

Gegeben sind die Widerstände:

Mathinline
body R_1=R_2=10\;\Omega \;;\;\;\;R_3=R_4=20\;\Omega \;;\;\;\;R_5=R_6=5\;\Omega \;;\;\;\; R_7 =15\; \Omega.

1.1  Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B.

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1.2  Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B, der Klemmen A und C und der Klemmen A und D.

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1.3   Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B und der Klemmen C und D.

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Lösung 1.1:

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAB%7D = R_1 +(R_2 \, %7C%7C \, R_3)

Reihenwiderstände berechnen sich, in dem die beiden Einzelwiderstände addiert werden.

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Parallelwiderstände berechnen sich, in dem die Kehrwerte der Einzelwiderstände addiert werden und anschließend der Kehrwert dieser Summe gebildet wird.

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges,P%7D=\frac%7B1%7D%7B\left( \frac%7B1%7D%7BR_1%7D+\frac%7B1%7D%7BR_2%7D+....\right)%7D \end%7Bgather*%7D

Bei lediglich zwei parallelen Widerständen lässt sich die Formel vereinfacht folgendermaßen darstellen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges,P%7D= \frac%7BR_1 \cdot R_2%7D%7BR_1+R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Hier wird nun zunächst der Ersatzwiderstand 

Mathinline
body --uriencoded--R_%7B23%7D

 aus 

Mathinline
body R_2

 und 

Mathinline
body R_3

  bestimmt und dann der Gesamtersatzwiderstand Rges aus 

Mathinline
body R_1

 und 

Mathinline
body --uriencoded--R_%7B23%7D

  bestimmt.

Mathinline
body --uriencoded-- \begin%7Bgather%7D R_%7B23%7D= \frac%7B10\Omega \cdot 20 \Omega%7D%7B10\Omega + 20 \Omega%7D = 6,67 \Omega\\ \end%7Bgather%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7Bges%7D= R_1 + (R_2%7C%7CR_3)=10\Omega + 6.67\Omega=16,67 \Omega\\ \end%7Bgather%7D

Lösung 1.2 - AB:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAB%7D =R_4 \, %7C%7C \,R_5 \, %7C%7C \, (R_1 + R_3)

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7BAB%7D = \left( \frac%7B1%7D%7BR_1+R_3%7D+\frac%7B1%7D%7BR_4%7D+\frac%7B1%7D%7BR_5%7D\right)%5e%7B-1%7D = \left( \frac%7B1%7D%7B10\Omega+20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B5 \Omega%7D\right)%5e%7B-1%7D =3,53\Omega \end%7Bgather%7D

Lösung 1.2 - AC:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAC%7D =R_3 \, %7C%7C \,(R_1 +( R_4 \,%7C%7C \,R_5))

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7B145%7D=(R_4%7C%7CR_5)+R_1 = \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7BR_4%7D+\frac%7B1%7D%7BR_5%7D%7D+R_1 =\frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B5\Omega%7D%7D+10\Omega = 14\Omega\\ \end%7Bgather%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7BAC%7D = \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7BR_3%7D+\frac%7B1%7D%7BR_%7B145%7D%7D%7D= \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B14\Omega%7D%7D = 8,24\Omega \end%7Bgather%7D

Lösung 1.2 - AD:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAB%7D =R_5 \, %7C%7C \,(R_3 +( R_1 \,%7C%7C \,R_4))

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Zwischen den Klemmen B und D befindet sich kein Schaltelement, daher handelt es sich um die gleiche Position im Schaltbild wie zwischen den Klemmen A und B.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7BAD%7D = R_%7BAB%7D = \left( \frac%7B1%7D%7BR_1+R_3%7D+\frac%7B1%7D%7BR_4%7D+\frac%7B1%7D%7BR_5%7D\right)%5e%7B-1%7D = \left( \frac%7B1%7D%7B10\Omega+20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B5 \Omega%7D\right)%5e%7B-1%7D =3,53\Omega \end%7Bgather%7D

Lösung 1.3 - AB:

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAB%7D =R_1 \, %7C%7C \, R_2 \, %7C%7C \, (R_3 + (R_4 %7C%7C ( R_6 + (R_5 \,%7C%7C\, R_7) ))

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7B567%7D= R_6+(R_5%7C%7CR_7)=5\Omega + \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B5\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B15\Omega%7D%7D=8,75\Omega \end%7Bgather%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7B34567%7D=R_3+(R_4\,%7C%7C \,R_%7B567%7D)=20\Omega+\frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B8,75\Omega%7D%7D=26,\Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7BAB%7D=R_1 \,%7C%7C\, R_2 %7C%7C R_%7B34567%7D = \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B10\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B10\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B26,09\Omega%7D%7D = 4,20 \Omega \end%7Bgather*%7D

Lösung 1.3 - CD:

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BCD%7D= R_4\,%7C%7C\,(R_3+(R_1%7C%7CR_2))\,%7C%7C\,(R_6+(R_5%7C%7CR_7))

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7B123%7D = R_3 + (R_1 \,%7C%7C \,R_2) = 20\Omega+ \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B10\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B10\Omega%7D%7D=25\Omega \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7B567%7D = R_6 + (R_5 \,%7C%7C \,R_7) = 5\Omega + \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B5\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B15\Omega%7D%7D=8,75\Omega \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7BCD%7D=R_4 \, %7C%7C \, R_%7B123%7D \, %7C%7C \, R_%7B567%7D = \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B20\Omega %7D+\frac %7B1%7D%7B25\Omega %7D+\frac %7B1%7D%7B8,75\Omega %7D %7D = 4,90\Omega \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 03-2:

Es ist die untenstehende Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

Mathinline
body U_0=6\;V;\;\;\;\;\;\; R_1 =390\;\Omega ;\;\;\;\;R_2=470\;\Omega;\;\;\; R_3=220\; \Omega.

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2.1 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Schaltung (von der Quelle aus gesehen).
2.2 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_1

.

Die folgenden Teilaufgaben können Sie entweder mit Hilfe der Spannungs- / Stromteilerregel oder mit Hilfe des ohmschen Gesetzes lösen:

2.3 Berechnen Sie die Spannungen 

Mathinline
body U_1

 und 

Mathinline
body U_2

.
2.4 Berechnen Sie die Ströme 

Mathinline
body I_2

 und 

Mathinline
body I_3

.
2.5 Erklären Sie mit Ihren eigenen Worten, warum sich die Spannungen

Mathinline
body U_1

 und 

Mathinline
body U_2

und die Ströme

Mathinline
body I_2

 und 

Mathinline
body I_3

wie berechnet verhalten.

Hinweis: Bei Parallelschaltung: Gleiche Spannung an den Widerständen

Hinweis: Neue Hilfsmittel benennen und Formeln erfragen. (Spannungsteiler, Stromteiler, Ohm‘sches Gesetz)

Lösung 2.1:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R=R_1+(R_2\,%7C%7C\,R_3)=390\Omega +\frac%7B470\Omega \cdot 220 \Omega%7D%7B470\Omega + 220 \Omega%7D = 539,86 \Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 2.2:

Mathinline
body I_1

fließt durch den gesamten Widestand und

Mathinline
body U_0

fällt darüber ab, daher kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden:

Mathinline
body U_0 = R \cdot I_1

.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1=\frac%7BU_0%7D%7BR%7D= \frac%7B6V%7D%7B539,86 \Omega%7D= 11,11 mA \\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 2.3:

Mathinline
body R_2

und

Mathinline
body R_3

werden zusammengefasst:

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7B23%7D=\frac%7B470\Omega \cdot 220\Omega%7D%7B470\Omega+220\Omega%7D = 149,86\Omega\\ \end%7Bgather*%7D

.

Mit der Spannungsteilerregel kann

Mathinline
body U_1

und

Mathinline
body U_2

berechnet werden.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_1 = \frac%7BR_1%7D%7BR%7D\cdot U_0 = \frac%7B390 \Omega%7D%7B539,86 \Omega%7D\cdot 6V = 4,33 \mathrm%7BV%7D \end%7Bgather*%7D

,

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_2 = \frac%7BR_%7B23%7D%7D%7BR%7D\cdot U_0 = \frac%7B149,86\Omega%7D%7B539,86\Omega%7D\cdot 6 \mathrm%7BV%7D = 1,67 \mathrm%7BV%7D(\equiv U_0-U_1) \end%7Bgather*%7D

.

Alternativ kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden, da

Mathinline
body I_1

berechnet wurde und somit bekannt ist.

Lösung 2.4:

Mittels Stromteilerregel lassen sich

Mathinline
body I_1

und

Mathinline
body I_2

berechnen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2 = \frac%7BR_3%7D%7BR_2+R_3%7D\cdot I_1 = \frac%7B220\Omega%7D%7B470\Omega +220\Omega%7D\cdot 11,11 mA = 3,54mA\\ \end%7Bgather*%7D

,

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = \frac%7BR_2%7D%7BR_2+R_3%7D\cdot I_1 = \frac%7B470\Omega%7D%7B470\Omega +220\Omega%7D\cdot 11,11 mA = 7,57\mathrm%7BmA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Alternativ kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden, da

Mathinline
body U_2

bekannt ist.

DC Widerstandsnetzwerke und Leistungsabgabe

Aufgabe 03-3:

Es ist die untenstehende Spannungsteiler-Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

Mathinline
body U_0=24\;V;\;\;\;\;\;\; R_1 =3,3\;k\Omega ;\;\;\;\;R_2=4,7\;k\Omega.

3.1 Berechnen Sie die an den beiden Widerständen abfallenden Spannungen 

Mathinline
body U_1

 und 

Mathinline
body U_2

.
3.2 Welcher Strom 

Mathinline
body I

 fließt durch die beiden Widerstände?
3.3 Welche Leistungen 

Mathinline
body P_1

 und 

Mathinline
body P_2

 nehmen die beiden Widerstände auf? Wie groß ist die Leistung

Mathinline
body P_\mathrm Q

der Quelle?

Lösung 3.1:

Anwenden des Spannungsteilers:

Unit
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_1 =\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot U_0 = \frac%7B3300 \Omega%7D%7B3300 \Omega +4700\Omega%7D\cdot 24 \mathrm%7BV%7D=9,90\mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Unit
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_2 =\frac%7BR_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot U_0 = \frac%7B4700 \Omega%7D%7B3300 \Omega +4700\Omega%7D\cdot 24 \mathrm%7BV%7D=14,10\mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 3.2:

Berechnen des Gesamtwiderstands, um Ohm'sches Gesetz anzuwenden, da der Strom durch

Mathinline
body R_1

 und

Mathinline
body R_2

gleich groß ist:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges%7D=R_1+R_2 = 3300 \Omega +4700 \Omega = 8000 \Omega\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I=\frac%7BU_0%7D%7BR%7Bges%7D%7D=\frac%7B24\mathrm%7BV%7D%7D%7B8000 \Omega%7D= 3 \mathrm%7BmA%7D \end%7Bgather*%7D

Hinweis: Einheiten beachten

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7B24\mathrm%7BV%7D%7D%7B8\mathrm%7Bk\Omega%7D%7D= \frac%7B24\mathrm%7BV%7D%7D%7B8\cdot10%5e3 \Omega%7D= 3\cdot 10%5e%7B-3%7D \mathrm%7BA%7D = 3\mathrm%7BmA%7D \end%7Bgather*%7D

Lösung 3.3:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_1 = U_1 \cdot I = 9,90\mathrm%7BV%7D\cdot 3\mathrm%7BmA%7D=29,70 \; \mathrm %7BmW%7D \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_2 = U_2 \cdot I = 14,10\mathrm%7BV%7D\cdot 3\mathrm%7BmA%7D=42,30 \; \mathrm%7BmW%7D \end%7Bgather*%7D

Die Leistung der Quelle ist negeativ, da diese Leistung an die Verbraucher abgibt. Diese Notation entspricht dem Verbraucherzählpfeilsystem.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_\mathrm Q= - U_0 \cdot I= - 24 \mathrm V \cdot 3 \mathrm%7BmA%7D= -72 \; \mathrm %7BmW%7D \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 03-4:

Es ist die untenstehende Schaltung zur Versorgung eines Verbrauchers 

Mathinline
body R_a

 aus einer Quelle 

Mathinline
body U_0,R_i

) mit folgenden Werten gegeben:

Mathinline
body U_0=10\;V;\;\;\;\;\;\; R_i =33\;\Omega ;\;\;\;\;R_a=47\;\Omega.

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4.1 Berechnen Sie die von der Spannungsquelle 

Mathinline
body U_0

 abgegebene Leistung 

Mathinline
body P_0

, die im Verbraucher (

Mathinline
body R_a

) umgesetzte Leistung 

Mathinline
body P_a

 und die im Innenwiderstand 

Mathinline
body R_i

 umgesetzte Leistung 

Mathinline
body P_i

.
4.2 Ermitteln Sie den Wirkungsgrad 

Mathinline
body \eta

 der Leistungsabgabe.
4.3 Leiten Sie her, welchen Wert

Mathinline
body R_a

 haben muss, damit in ihm die maximal abgebbare Leistung 

Mathinline
body P_{a,max}

 umgesetzt wird? Wie hoch ist diese Leistung?
(Hinweis: Bedenken Sie hierbei die mathematischen Grundlagen für ein Maximum, d.h. finden Sie eine Funktion für die Leistung, die nur von konstanten Werten und dem gesuchten (variablen) Widerstand

Mathinline
body R_a

abhängt.).

Lösung 4.1:

Der Strom I berechnet sich mit

Mathinline
body --uriencoded--U_0 = R_%7Bges%7D \cdot I

:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges%7D=R_i+R_a; \,\,\,\,\,\, I=\frac%7BU_0%7D%7BR_%7Bges%7D%7D; \,\,\,\,\,\, P_0 = %7B-U_0\cdot I,%7D \end%7Bgather*%7D

Ineinander Einsezen ergibt die Abgegebene Leistung von

Mathinline
body U_0

;

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_0=\frac%7B-U_0%5e2%7D%7BR_i+R_a%7D= \frac%7B-(10 \mathrm%7BV%7D)%5e2%7D%7B33\Omega+47\Omega%7D=-1,25 \mathrm%7BW%7D \end%7Bgather*%7D

Die Spannung

Mathinline
body U_a

fällt über dem Widerstand

Mathinline
body R_a

ab. Diese Spannung kann mit der Spannungsteilerregel berechnet werden:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a = U_a\cdot I , U_a = \frac%7BR_a%7D%7BR_i+R_a%7D\cdot U_0\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a = \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 = \frac%7B47 \Omega%7D%7B47\Omega +33 \Omega%7D%5e2 \cdot (10 \mathrm%7BV%7D)%5e2 = 0,73 \mathrm%7BW%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Die Spannung

Mathinline
body U_i

fällt über dem Widerstand

Mathinline
body R_i

ab. Diese Spannung kann mit der Spannungsteilerregel berechnet werden:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_i = U_i\cdot I , U_i = \frac%7BR_i%7D%7BR_i+R_a%7D\cdot U_0\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_i = \frac%7BR_i%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 = \frac%7B33 \Omega%7D%7B47\Omega +33 \Omega%7D%5e2 \cdot (10 \mathrm%7BV%7D)%5e2 = 0,52 \mathrm%7BW%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Hinweis: Desweiteren gilt

Mathinline
body P_0=P_i+P_a

, da allgemein keine weiteren Verluste angenommen werden. (

Mathinline
body R_i

beinhaltet alle inneren Verlustwiderstände,

Mathinline
body P_i

stellt somit die Verlustleistung dar).

Lösung 4.2:

Mathinline

body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D η =\frac%7BNutzen%7D%7BAufwand%7D = \frac%7Bin \hspace%7B1ex%7DR_a \hspace%7B1ex%7D umgesetzte\hspace%7B1ex%7DLeistung\hspace%7B1ex%7DP_a%7D%7B%7Cvon \hspace%7B1ex%7Dder\hspace%7B1ex%7D Quelle \hspace%7B1ex%7Dabgegebene\hspace%7B1ex%7D Leistung\hspace%7B1ex%7D P_0%7C%7D =\frac%7B0,73\mathrm%7BW%7D%7D%7B1,25\mathrm%7BW%7D%7D= 0,584 \equiv 58,4\%25\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 4.3:

Die Leistung

Mathinline
body P_a

berechnet sich mit folgender Gleichung:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a =\frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D

.

Diese wird maximal für:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e` =\frac%7BdP_a%7D%7Bdr_a%7D≝ 0\\ P_a%5e`` = \frac%7Bd%5e2P_a%7D%7BdR_a%5e2%7D<0 \end%7Bgather*%7D

Produktregel: 

Mathinline
body --uriencoded--f(x)=u(x) . v(x)⟹f%5e%7B'%7D (x)=u%5e%7B'%7D (x) . v(x)+u(x) . v%5e%7B'%7D (x)

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B'%7D= \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 -2 \cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D = -2\cdot \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 -2\cdot \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7DU_0%5e2 + 6\cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e4%7D\cdot U_0%5e2 =-4\cdot\frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7DU_0%5e2+6\cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e4%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D

Extrema berechnen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B'%7D = 0 = \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 -2 \cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 = 1 - 2 \cdot \frac%7BR_a%7D%7BR_i+R_a%7D \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i+R_a = 2\cdot R_a \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i= R_a \end%7Bgather*%7D

Maximum prüfen durch Einsetzen von  

Mathinline
body R_a=R_i

 in 

Mathinline
body --uriencoded--P_a%5e%7B''%7D :

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D(R_a=R_i)=6\cdot \frac%7BR_i%7D%7B(2\cdot R_i)%5e4%7D\cdot U_0 %5e2 -4\cdot \frac%7B1%7D%7B(2\cdot R_i)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D(R_a=R_i)=\frac%7B3%7D%7B8\cdot R_i%5e3%7D\cdot U_0%5e2-\frac%7B1%7D%7B2\cdot R_i%5e3%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D(R_a=R_i) = -\frac%7BU_0%5e2%7D%7B8\cdot R_i%5e3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Durch 

Mathinline
body --uriencoded--U_0%5e2>0

 und 

Mathinline
body R_i>0

   wird 

Mathinline
body --uriencoded--P_a%5e%7B''%7D (R_a=R_i )<0

und damit das Maxima bewiesen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_%7Ba,max%7D=\frac%7BR_i%7D%7B(2R_i)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 = \frac%7BU_0%5e2%7D%7B4R_i%7D= \frac%7B(10\mathrm%7BV%7D)%5e2%7D%7B4.33\Omega%7D=0,76 \mathrm%7BW%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Ersatzspannungsquellen & DC-Netzwerke

Aufgabe 03-5:

Gegeben ist das gezeichnete Netzwerk mit der Spannung U und den Widerständen 

Mathinline
body R_1, R_2

und

Mathinline
body R_3

.

Image RemovedImage Added

5.1 Bestimmen Sie die Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2.
5.2 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_{3K}

 bei Kurzschluß der Klemmen 1 und 2 (durch 

Mathinline
body R_3

) für die ursprüngliche Schaltung durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln. Vergleichen Sie mit dem Strom 

Mathinline
body I_k

, der sich bei Kurzschluß der Ersatzspannungsquelle ergibt.
5.3 Geben Sie die Ersatzstromquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2 an.

Lösung 5.1:

Der Innenwiderstand 

Mathinline
body R_i

  ist der Ersatzwiderstand bzgl. der Klemmen 1 und 2:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i = R_3 + R_1 %7C%7C R_2 = R_3 + \frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1+R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Im Leerlauffall fließt durch den Widerstand R₃ kein Strom und es fällt deshalb keine Spannung über diesem Widerstand ab. Daher entspricht die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen 1 und 2 der Spannung, die über dem Widerstand 

Mathinline
body R_2

 abfällt.
Mithilfe des Spannungsteilers ergibt sich:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_2 = U_0 = \frac%7BR_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot U \end%7Bgather*%7D

Lösung 5.2:

Berechnung von

Mathinline
body I_{3K}

:

Bei Anwendung der Kirchhoff'schen Regeln ist zu beachten, dass in dieser Schaltung eine unabhängige Knotengleichung und 2 unabhängige Maschengleichungen möglich sind. Der Kurzschluss ergibt sich durch direkt Verbindung der Klemmen. Damit sieht das Schaltbild wie folgt aus:

Die Knotengleichung am oberen Knoten lautet:

Mathinline
body --uriencoded--I-I_2-I_%7B3\mathrm K%7D=0 \;\; \Rightarrow \;\; I_%7B3\mathrm K%7D=I-I_2 \; (\mathrm I)

Die Maschengeichungen lauten:

Mathinline
body --uriencoded---U+U_%7B\mathrm R1%7D -U_%7B\mathrm R2%7D=0 \;\; \Rightarrow \;\; -U+R_1\cdot I+R_2\cdot I_2=0 \; (\mathrm%7BII%7D)

Mathinline
body --uriencoded-- -U_%7B\mathrm R2%7D -U_%7B\mathrm R3%7D=0 \;\; \Rightarrow \;\; -R_2\cdot I_2+R_3\cdot I_%7B3\mathrm K%7D=0\; (\mathrm%7BIII%7D)

Damit ergibt sich:

Mathinline
body --uriencoded--(\mathrm%7BIII'%7D): I_2=\frac %7BR_3\cdot I_%7B3 \mathrm K%7D%7D%7BR_2%7D \\ (\mathrm%7BII'%7D): I=\frac %7BU-R_2\cdot I_2%7D%7BR_1%7D\;\; \mathrm%7Bmit%7D \, (\mathrm%7BIII'%7D): I=\frac %7BU-R_3\cdot I_%7B3 \mathrm K%7D %7D%7BR_1%7D

Es folgt:

Mathinline

body --uriencoded-- (\mathrm%7BII'%7D) \, \mathrm%7Bund%7D \, (\mathrm%7BIII'%7D)\, \mathrm%7Bin%7D \, (\mathrm%7BI%7D): I_%7B3\mathrm K%7D=\frac %7BU-R_3\cdot I_%7B3 \mathrm K%7D %7D%7BR_1%7D - \frac %7BR_3\cdot I_%7B3 \mathrm K%7D %7D%7BR_2%7D \\ \Rightarrow I_%7B3\mathrm K%7D\cdot R_1 \cdot R_2=U\cdot R_2 -R_2\cdot R_3\cdot I_%7B3\mathrm K%7D-R_1\cdot R_3\cdot I_%7B3\mathrm K%7D \\ \begin%7Bgather*%7D \Rightarrow I_%7B3\mathrm K%7D=\frac %7BR_2\cdot U%7D%7BR_1 \cdot R_2 + R_1\cdot R_3+R_2 \cdot R_3%7D \end%7Bgather*%7D

Es kann auch alternativ mit dem Ersatzwiderstand gerechnet werden ohne die Knoten- und Maschengleichungen vollständig aufzustellen (dieser Weg ist auch zu bevorzugen, da er weniger fehleranfällig ist):

Der Strom I ergibt sich aus dem Gesamtwiderstand

Mathinline
body --uriencoded--R_%7Bges%7D

und der Spannung U.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I= \frac%7BU%7D%7BR_%7Bges%7D%7D= \frac%7BU%7D%7BR_1 + \frac%7BR_2 \cdot R_3%7D%7BR_2 +R_3%7D%7D= \frac%7BR_2+R_3%7D%7BR_1\cdot R_2 + R_1\cdot R_3 +R_2 \cdot R_3%7D\cdot U \\ \end%7Bgather*%7D

Der Stromteiler ergibt den Strom

Mathinline
body --uriencoded--I_%7B3K%7D

:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_%7B3K%7D=\frac%7BR_2%7D%7BR_2+R_3%7D\cdot I= \frac %7BR_2%7D%7BR_1\cdot R_2 + R_1\cdot R_3 +R_2 \cdot R_3%7D\cdot U\\ \end%7Bgather*%7D

Berechnung von

Mathinline
body --uriencoded--I_%7BK%7D

:

Der Strom

Mathinline
body I_K

fließt bei Kurzschließen der Ersatzspannungsquelle.

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_K = \frac%7BU_0%7D%7BR_i%7D= \frac%7BR_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot \frac%7B1%7D%7BR_3+\frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1+R_2%7D%7D\cdot U = \frac%7BR_2%7D%7BR_1 +R_2%7D\cdot \frac%7BR_1 +R_2%7D%7BR_1\cdot R_2 +R_1 \cdot R_3 + R_2 \cdot R_3%7D\cdot U = \frac%7BR_2%7D%7BR_1\cdot R_2 +R_1 \cdot R_3 + R_2 \cdot R_3%7D\cdot U \end%7Bgather*%7D

Es lässt sich feststellen, dass in beiden Fällen der gleiche Kurzschlussstrom fließt, da die Ersatzquelle nach außen das gleiche Verhalten aufweist wie die ursprüngliche Schaltung.

Lösung 5.3:

Der Innenwiderstand

Mathinline
body R_i

bleibt in beiden Fällen gleich. Damit kann der Kurzschlussstrom einberechnet werden. Es gilt der Zusammenhang

Mathinline
body U_0=I_0\cdot R_i

.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_0 = \frac%7BU_0%7D%7BR_i%7D= I_K = \frac%7BR_2%7D%7BR_1\cdot R_2 +R_1 \cdot R_3 + R_2 \cdot R_3%7D\cdot U \\ \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 03-6:

Gegeben ist die folgende Schaltung mit den Werten:

Mathinline
body U=80\;V;\;\;\;\;\;\; R_1=R_2=R_3 =300\;\Omega ;\;\;\;\;R_4=400\;\Omega

Image RemovedImage Added

6.1 Geben Sie für die gezeichnete Schaltung bezüglich der Klemmen 1 und 2 die Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand an.
6.2 Welchen Wert muss ein an den Klemmen 1 und 2 angeschlossener Widerstand 

Mathinline
body R_a

 besitzen, damit die in ihm umgesetzte Leistung maximal ist?

Zusatzaufgabe:

6.3 Wie groß ist im Fall 6.2 der Wirkungsgrad der Anordnung, wenn als Nutzleistung die im Außenwiderstand 

Mathinline
body R_a

 umgesetzte Leistung anzusehen ist (nicht vom Ersatzschaltbild ausgehen!)? Wie groß wäre der Wirkungsgrad, wenn Sie vom Ersatzschaltbild ausgehen würden?

Lösung 6.1:

Schaltbild der Ersatzspannungsquelle:

Um den Innenwiederstand

Mathinline
body R_i

zu berechnen, muss die Spannungsquelle 

Mathinline
body U

kurzgeschlossen werden und der Gesamtwiederstand bezüglich der Klemmen 1 und 2 berechnet werden.

Image RemovedImage Added

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i = R_1%7C%7C(R_2+(R_3%7C%7CR_4)) \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7B2,3,4%7D= 300 \Omega + \frac%7B300 \cdot 400 \omega%5e2%7D%7B300 \Omega + 400 \Omega%7D= 471,43\Omega \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i = \frac%7B300 \cdot 471,43 \Omega %5e2 %7D%7B300 \Omega +471,43 \Omega%7D= 183,33 \Omega \end%7Bgather*%7D

Um die Ersatzspannung zu berechnen, können gezielt Maschen und Knoten gelegt werden:

Image RemovedImage Added

Maschen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \textbf%7BI%7D: \hspace%7B2ex%7D U_0= I_2 \cdot R_2 + I_4 \cdot R_4 \,\,\, \,\,\,\\ \textbf%7BII%7D: \hspace%7B2ex%7D U-I_3 \cdot R_3 -I_4\cdot R_4 =0\\ \end%7Bgather*%7D

Knoten:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D A: \hspace%7B2ex%7D I_4 -I_2-I_3 =0\\ \end%7Bgather*%7D

Der Strom 

Mathinline
body I_4

  ist der Strom, der durch die Quelle fließt, deshalb kann dieser mittels 

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_4 =\frac%7BU%7D%7BR_%7Bges%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D

berechnet werden. Der Gesamtwiederstand  

Mathinline
body --uriencoded--R_%7Bges%7D

  ist der Ersatzwiederstand bezüglich der Spannungsquelle:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges%7D= R_4+R_3%7C%7C(R_1+R_2)= 600 \Omega\\ I_4 = \frac%7BU%7D%7BR_%7Bges%7D%7D= \frac%7B80 V%7D%7B600 \Omega%7D = \frac%7B2%7D%7B15%7D \mathrm%7BA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen in die Masche II liefert den Strom 

Mathinline
body I_3

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = \frac%7BU-I_4\cdot R_4%7D%7BR_3%7D= \frac%7B4%7D%7B45%7D\mathrm%7BA%7D \end%7Bgather*%7D

Einsetzen in Knoten A liefert den Strom 

Mathinline
body I_2

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2 = I_4-I_3 = \frac%7B2%7D%7B45%7D\mathrm%7BA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen in Masche I liefert die Spannung  

Mathinline
body U_0

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_0 = I_2 \cdot R_2 + I_4 \cdot R_4 = 66,667 \mathrm%7BV%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 6.2:

Die maximale Leistung wird bei

Mathinline
body R_a=R_i

umgesetzt (vgl. Übungsblatt 3, Aufgabe 2).

Lösung Zusatzaufgabe 6.3:

Eine Ersatzspannungs/Ersatzstrom-Quelle ist in ihrer Wirkung nur nach Außen der Originalschaltung äquivalent, innerhalb der Schaltung hat die Ersatzquelle ein völlig anderes Verhalten.

Der Wirkungsgrad der Anordnung ergibt sich aus dem Quotienten der Leistung die im Wiederstand  

Mathinline
body R_a

  umgesetzt wird und der Leistung, die von der Quelle abgegeben wird.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D η = \frac%7BP_a%7D%7BP_Q%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Um die entsprechenden Leistungen zu ermitteln, müssen die Ströme durch Quelle und Ver-braucherwiederstand ermittelt werden. Maschen- und Knotengleichungen ergeben ein 6x6 LGS.

 

Maschen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \textbf%7BI%7D:\hspace%7B2ex%7D I_1\cdot R_1-I_3\cdot R_3+I_2\cdot R_2=0\\ \textbf%7BII%7D:\hspace%7B2ex%7D I_3\cdot R_3+I_4\cdot R_4-U=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \textbf%7BIII%7D:\hspace%7B2ex%7D I_a\cdot R_a-I_2\cdot R_2-I_4\cdot R_4=0\,\,\,\,\,\\ \end%7Bgather*%7D

Knoten:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \textbf%7BA%7D:\hspace%7B2ex%7D I_1+I_3-I=0\\ \textbf%7BB%7D:\hspace%7B2ex%7D I_4-I_2-I_3=0\\ \textbf%7BC%7D:\hspace%7B2ex%7D I_a+I_2-I_1=0\\ \end%7Bgather*%7D

Da das LGS verhältnismäßig komplex ist, empfiehlt es sich, auf eine händische Lösung zu verzichten und z.B. auf Programme wie Matlab zurückzugreifen.

Für die beiden benötigten Größen

Mathinline
body I_a

und  I ergeben sich die folgenden Werte:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_a = 0,1818 \mathrm%7BA%7D\\ I = 0,2848 \mathrm%7BA%7D \end%7Bgather*%7D

Damit lassen sich die Leistungen in Wiederstand und Quelle bestimmen.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a = I_a%5e2\cdot R_a = (0,1818 A)%5e2 \cdot 183,33 \Omega= 6,06 \mathrm%7BW%7D\\ P_Q = U\cdot I = 80 \mathrm%7BV%7D\cdot 0,2848 A = 22,784 \mathrm%7BW%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Nun kann der Wirkungsgrad der Anordnung bestimmt werden.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D η = \frac%7BP_a%7D%7BP_Q%7D=\frac%7B6,06 W%7D%7B22,784 W%7D= 0,2626 ≜ 26,26\%25\\ \end%7Bgather*%7D

Wird jedoch von der (vereinfachten) Ersatzquelle ausgegangen, besteht diese Schaltung lediglich aus der Reihenschaltung der Leerlaufspannung und von

Mathinline
body R_\mathrm i

und

Mathinline
body R_\mathrm a

. Da

Mathinline
body R_\mathrm i

und

Mathinline
body R_\mathrm a

den gleichen Wert haben und durch beide der gleiche Strom fließt, fällt über beiden die gleiche Spannung ab. Damit wird in beiden Widerständen die gleiche Leistung umgesetzt. Das bedeutet, dass der Wirkungsgrad

Mathinline
body --uriencoded--\eta _\mathrm%7BErsatz%7D

=50 % beträgt. Allgemein lässt sich sagen, dass der Wirkungsgrad der Ersatzquellenschaltung größer als der der tatsächlichen Schaltung ist. Das liegt daran, dass in der tatsächlichen Schaltung weitere innere Ströme über inneren Widerständen "ünnötig im Kreis fließen" können und damit internen zu Verlusten führen, welche in der Ersatzquelle nicht abgebildet werden.

Aufgabe 03-7:

Gegeben ist das folgende Netzwerk.

Es sind die folgenden Werte bekannt:

Mathinline
body I_{01}=2,4\;A;\;\;\;U_{02}=25\;V;\; \;\;U_{03}=23\;V;\;\;\; R_1 =R_2=10\;\Omega ;\;\;\;\;R_3=1\;\Omega;\;\;\; R_4=2,5\; \Omega.

7.1 Bestimmen Sie die Spannung 

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body U_{AB}

 durch direkte Anwendung der Kirchhoffschen Sätze (Knoten- und Maschenregel). Stellen Sie hierzu das erforderliche lineare Gleichungssystem auf. (Die Lösung dieses LGS ist aufwändig.)

Lösung 7.1:

Es liegen mit

Mathinline
body I_1

bis 

Mathinline
body I_3

und

Mathinline
body --uriencoded--U_%7BAB%7D

  vier Unbekannte vor, demnach sind zum lösen des LGS vier Gleichungen notwendig.

Image RemovedImage Added

Maschen:

Mathinline
body --uriencoded-- \textbf%7BI%7D \hspace%7B2ex%7D U_%7B02%7D-I_1\cdot R_1+I_2 \cdot R_2=0\\ \textbf%7BII%7D \hspace%7B2ex%7D U_%7BAB%7D-U_%7B02%7D-I_2\cdot R_2+I_3\cdot R_3=0\\ \textbf%7BIII%7D \hspace%7B2ex%7D U_%7B03%7D-U_%7BAB%7D+I_3\cdot R_4=0\\

Knoten:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D A \hspace%7B2ex%7D I_%7B01%7D-I_1-I_2-I_3=0\\ \end%7Bgather*%7D

Durch umformen von Masche III ergibt sich:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_%7BAB%7D = I_3 \cdot R_4 + U_%7B03%7D \hspace%7B5ex%7D (1)\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen in Masche II liefert:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D -U_%7B02%7D-I_2\cdot R_2 + I_3\cdot (R_3+R_4)+U_%7B03%7D=0 \hspace%7B5ex%7D (2)\\ \end%7Bgather*%7D

Durch Umformen von Knoten A ergibt sich:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1= I_%7B01%7D-I_2-I_3 \hspace%7B5ex%7D (3) \\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen von ( 3 ) in Masche I ergibt:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D -I_%7B01%7D\cdot R_1+I_2\cdot (R_1+R_2 )+I_3\cdot R_1+U_%7B02%7D=0 \hspace%7B5ex%7D (4)\\ \end%7Bgather*%7D

Umstellen von ( 2 ) nach

Mathinline
body I_2

ergibt:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2 = \frac%7BU_%7B03%7D-U_%7B02%7D+I_3\cdot (R_3+R_4)%7D%7BR_2%7D \hspace%7B5ex%7D (5) \\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen von ( 5 ) in ( 4 ) liefert:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D -I_%7B01%7D\cdot R_1 + (\frac%7BU_%7B03%7D-U_%7B02%7D%7D%7BR_2%7D + I_3 \cdot \frac%7BR_4 +R_3%7D%7BR_2%7D)\cdot (R_1+R_2)+I_3\cdot R_1 + U_%7B02%7D=0\\ \end%7Bgather*%7D

Umstellen nach

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body I_3

führt zu:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = \frac%7BI_%7B01%7D\cdot R_1\cdot R_2-U_%7B03%7D\cdot (R_1+R_2)+U_%7B02%7D\cdot R_1%7D%7B(R_3+R_4)\cdot(R_1+R_2)+R_1\cdot R_2%7D= 0,1765 \mathrm%7BA%7D \hspace%7B5ex%7D (6)\\ \end%7Bgather*%7D

Einsetzen in ( 1 ) liefert schließlich das Ergebnis für

Mathinline
body --uriencoded--U_%7BAB%7D

.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_%7BAB%7D=I_3\cdot R_4+U_03=0,1765 A\cdot 2,5 \Omega+23 V =23,44 V\\ \end%7Bgather*%7D

Superpositionsprinzpien

Aufgabe 03-8:

Gegeben sind: 

Mathinline
body I_0=2\;A;\;\;\;\;\;\; U_0=10\;V;\;\;\;\;R_1=5\;\Omega;\;\;\;\;R_2=5\;\Omega;\;\;\;\;R_3=2\;\Omega;\;\;\;\;R_i=5\;\Omega.\;\;\;\;

Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I

 mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens.

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Lösung:

Betrachtung

Mathinline
body U_0

:

Stromquelle wird durch unterbrochenen Leiter ersetzt.

Mathinline
body --uriencoded--I%5e%7B'%7D

berechnen:

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Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges%7D= R_i +\frac%7BR_3\cdot (R_1+R_2%7D%7BR_1+R_2+R_3%7D= 5\Omega + \frac%7B20 \Omega%5e2%7D%7B12 \Omega%7D = 6,67 \Omega \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I%5e%7B'%7D = \frac%7BU_0%7D%7BR_%7Bges%7D%7D= \frac%7B10 \mathrm%7BV%7D%7D%7B6,67 \Omega%7D= 1,5 \mathrm%7BA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Betrachtung

Mathinline
body I_0

:

Spannungsquelle wird kurzgeschlossen.

Mathinline
body --uriencoded--I%5e%7B''%7D

berechnen:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_2 + (R_i%7C%7CR_3) = 5\Omega + \frac%7B10\Omega%5e2%7D%7B7 \Omega%7D= 6,43 \Omega \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2%5e%7B''%7D= \frac%7BR_1%7D%7BR_1+6,43 \Omega%7D\cdot I_0 = \frac%7B5 \Omega%7D%7B5 \Omega + 6,43 \Omega%7D\cdot 2A = 0,87 A \\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I%5e%7B''%7D= \frac%7BR_3%7D%7BR_i+R_3%7D\cdot I_2%5e%7B''%7D= \frac%7B2 \Omega%7D%7B5 \Omega + 2 \Omega%7D\cdot 0,87 A = 0,25 A \\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body I

ausrechnen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I=1,5 A + 0,25 A=1,75 A \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 03-9:

Gegeben ist folgende Schaltung:

Nehmen Sie

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body R_1, R_2, R_3, I_0

und

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body U_q

als bekannt an.
Der linke Teil der Schaltung, bestehend aus den vier Komponenten

Mathinline
body R_1, R_2, I_0

und

Mathinline
body U_q

, wird im folgenden als Quelle betrachtet. Der Recht Teil, bestehend aus dem Schalter und R₃ wird als Verbraucher betrachtet.

Zunächst sei S geöffnet.

9.1 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_1

.
9.2 Bestimmen Sie eine Ersatzspannungsquelle (

Mathinline
body U_0

, 

Mathinline
body R_i

) bezüglich der Klemmen A und B.

Nun sei S geschlossen. 

9.3 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_3

 mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B. (Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den gesuchten Strom über die Knoten- und Maschengleichungen und prüfen Sie, ob dieser Strom identisch ist.)
9.4 Wie muss 

Mathinline
body I_0

 gewählt werden, damit 

Mathinline
body I_3=0

 wird?
9.5 Wie groß wird für 

Mathinline
body R_3=0

 der Kurzschlußstrom 

Mathinline
body I_{3K}

?
9.6 Geben Sie eine Ersatzstromquelle mit der Spannung 

Mathinline
body U_0

 bezüglich der Klemmen A und B an, die ebenfalls eine Berechnung des Stromes 

Mathinline
body I_3

 gestattet.
9.7 Bei welchem Wert für 

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body R_3

 ist die an 

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body R_3

 abgegebene Leistung maximal. Geben Sie 

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body R_3

 und 

Mathinline
body P_{3max}

 an.

Lösung 9.1:

Überlagerungsverfahren: 

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B' %7D= \frac%7BU_q%7D%7BR_1+R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B''%7D= \frac%7BR_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot I_0\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1 =I_1%5e%7B' %7D+I_1%5e%7B''%7D = \frac%7BU_q + R_2\cdot I_0%7D%7BR_1+R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.2:

Die Berechnung des Innenwiderstandes

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body \(R_i\)

 erfolgt über Kurzschließen der Spannungquelle

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body \(U_0\)

und dem Öffnen der Stromquelle

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body \(I_0.\)

 Bezüglich der Klemmen A – B wird der Innenwiderstand 

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body --uriencoded--\( R_i = R_1 \, %7C%7C \, R_2. \)

Lösung 9.3:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = \frac%7BU_0%7D%7BR_i+R_3%7D= R_1\cdot\frac%7BU_q + R_2 \cdot I_0%7D%7BR_1 +R_2%7D\cdot \frac%7B1%7D%7B\frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1 +R_2%7D+ R_3%7D = \frac%7BR_1 \cdot (U_q + R_2 \cdot I_0)%7D%7BR_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Die Bestimmung über Knoten- und Maschengleichungen liefert exakt den gleichen Wert für

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body I_3

, erfodert aber eine höhere Anzahl an Rechenschritten. Wenn lediglich ein bestimmter Strom oder eine bestimmte Spannung gesucht ist, ist das Überlagerungsverfahren zielgerichteter, da nicht alle (ungesuchten) Ströme/Spannungen berechnet werden müssen, sondern zielgerichtet die gesuchte Größe ermittelt wird.

Lösung 9.4:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = 0 \longrightarrow \cdot (U_q+R_2\cdot I_0) =0 \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_0 = - \frac%7BU_q%7D%7BR_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.5:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_%7B3K%7D=\frac%7BU_0%7D%7BR_i%7D =\frac%7BR_1 \cdot (U_q + R_2 \cdot I_0)%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot \frac%7BR_1+R_2%7D%7BR_1 \cdot R_2%7D= \frac%7B(U_q + R_2 \cdot I_0)%7D%7BR_2%7D= \frac%7BU_q%7D%7BR_2%7D+ I_0 \\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.6:

Wenn in der Übungsgruppe noch nicht besprochen:

Hier:

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body \(I_0\)

 schon genutzt, deswegen 

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body \(I_q\)

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_q = \frac%7BU_0%7D%7BR_i%7D= I_%7B3K%7D\\ R_i = \frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1 + R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.7:

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Im äußeren Widerstand wird die maximale Leistung umgesetzt, wenn dieser dem Innenwiderstand entspricht.
Die Leistung am Widerstand ergibt sich aus Strom und Spannung an diesem Widerstand.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_3 = R_i = \frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1 + R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_3 = U_%7B\mathrm R3%7D \cdot I_%7B\mathrm R3%7D=U_%7B\mathrm R3%7D%5e2 \cdot \frac%7B1%7D%7BR_3%7D=(\frac%7BR_3%7D%7BR_i+R_3%7D\cdot U_0 )%5e2 \cdot \frac%7B1%7D%7BR_3%7D= \frac%7BR_3%7D%7B(R_i+R_3)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 \\ \end%7Bgather*%7D

Nun wird für den Wert des äußeren Widerstand der Innenwiderstand eingesetzt und der Term vereinfacht.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_%7B3max%7D:R_i = R_3 \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7DP_%7B3max%7D=\frac%7BR_3%7D%7B(R_3+R_3 )%5e2%7D\cdot U_0%5e2=\frac%7B(U_0%5e2)%7D%7B(4\cdot R_3 )%7D=\frac%7B1%7D%7B4%7D\cdot \frac%7B((R_1\cdot (U_q+R_2 \cdot I_0 ))%7D%7B(R_1+R_2 ))%7D%5e2\cdot \frac%7B(R_1+R_2)%7D%7B(R_1\cdot R_2 )%7D = \frac%7B1%7D%7B4%7D\cdot \frac%7BR_1\cdot (U_q + I_0 \cdot R_2)%5e2%7D%7BR_2 \cdot (R_1 +R_2)%7D \end%7Bgather*%7D

DC Schaltungen mit Entwurfsaufgaben

Aufgabe 03-10:

Zwei Spannungsquellen mit den konstanten Spannungen 

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body U_1

 und 

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body U_2

 und den Innenwiderständen 

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body R_1

 und 

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body R_2

 sind parallel geschaltet.

10.1 Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze (Knoten- und Maschenregel) die drei Ströme 

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body I_1

 , 

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body I_2

 und 

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body I_a

 sowie die Spannung an

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body R_a

. Es gilt:

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body R_a =R_1=R_2=1 \; \Omega

und

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body U_1=U_2=2 V

.
10.2 Zeigen Sie, dass man mit Hilfe des Überlagerungssatzes die gleichen Wert für die drei Ströme erhält, wie unter 1.1. (

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body R_a =R_1=R_2=1

 Ω und

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body U_1=U_2=2 V

)
10.3 Wandeln Sie die Schaltung aus 

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body U_1

, 

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body R_1

, 

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body U_2

 und 

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body R_2

 in eine äquivalente Ersatzquelle der Klemmen A  und B um und berechnen Sie dann den Strom 

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body I_a

.
10.4 Welcher Bedingung müssen die beiden Spannungsquellen genügen, damit kein Strom durch den Widerstand 

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body R_a

 fließt?

Lösung 10.1:

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Es ist zweckmäßig, die folgenden Berechnungen ohne Einheiten mit reinen Zahlenwerten durchzuführen, um den Rechenaufwand zu reduzieren:

Knoten A:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7BA%7D: I_1+I_2=I_a \hspace%7B3ex%7D (1) \end%7Bgather*%7D

Masche 1:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7BI%7D: -U_1+I_1\cdot R_1+I_a\cdot R_a=0 \Rightarrow -2+I_1+I_a=0 \hspace%7B3ex%7D(2) \end%7Bgather*%7D

Masche 2:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7BII%7D: U_2-I_a\cdot R_a -I_2\cdot R_2 \Rightarrow 2-I_a-I_2=0\hspace%7B3ex%7D (3) \end%7Bgather*%7D

Lösen:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7Bin%7D \; (2): \hspace%7B5ex%7D I_a =2-I_1\hspace%7B3ex%7D(4)\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7B (4)\; in \; (3):%7D \hspace%7B5ex%7D 2-2+I_1-I_2=0\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1=I_2\hspace%7B3ex%7D(5) \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7B (4)\; und\; (5)\; in \;(1):%7D\hspace%7B5ex%7D I_1+I_1=2-I_1\hspace%7B5ex%7D (6)\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1=\frac%7B2%7D%7B3%7D\, \mathrm A\\ I_2=\frac%7B2%7D%7B3%7D\, \mathrm A\\ I_a=\frac%7B4%7D%7B3%7D\, \mathrm A\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_a=I_a\cdot R_a=\frac%7B4%7D%7B3%7D\, \mathrm V \end%7Bgather*%7D

Lösung 10.2:

Berechnung mit Spannungsquelle

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body U_1

:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B'%7D=\frac%7BU_1%7D%7BR_%7Bges%7D%7D, R_%7Bges%7D= R_1 + \frac%7BR_2\cdot R_a%7D%7BR_2+R_a%7D= \frac%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a+R_2\cdot R_a%7D%7BR_2+R_a%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B'%7D=\frac%7BU_1\cdot(R_2+R_a)%7D%7BR_1\cdot R_2 + R_1 \cdot R_a +R_2\cdot R_a%7D=\frac%7B4%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2%5e%7B'%7D= -\frac%7BR_a%7D%7BR_2+R_a%7D . I_1%5e%7B'%7D =-\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

HINWEIS: Auf das Vorzeichen hinweisen! Es muss bei der Überlagerung richtig berücksichtigt werden.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_a%5e%7B'%7D=\frac%7BR_2%7D%7BR_2+R_a%7D\cdot I_1%5e%7B'%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Berechnung mit Spannungsquelle

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body U_2

:

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body --uriencoded-- \begin%7Bgather*%7D R_%7Bges%7D=R_2+\frac%7BR_1\cdot R_a%7D%7BR_1+R_a%7D=\frac%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a+R_2\cdot R_a%7D%7BR_1+R_a%7D \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded-- \begin%7Bgather*%7D I_2%5e%7B"%7D= \frac%7BU_2%7D%7BR_%7Bges%7D%7D = \frac%7BR_1+R_a%7D%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a+R_2\cdot R_a%7D\cdot U_2 =\frac%7B4%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_a%5e%7B"%7D =\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_a%7D\cdot I_2%5e%7B"%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Endergebnisse berechnen:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1=I_1%5e%7B'%7D+I_1%5e%7B"%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ I_2 = I_2%5e%7B'%7D+I_2%5e%7B"%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ I_a = I_a%5e%7B'%7D+I_a%5e%7B"%7D=\frac%7B4%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 10.3:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_0 = U_0%5e%7B' %7D+ U_0%5e%7B''%7D = \frac%7BR_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot U_1 + \frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot U_2=\frac%7BR_2\cdot U_1+R_1\cdot U_2%7D%7BR_1+R_2%7D \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_a = \frac%7BU_0%7D%7BR_i+R_a%7D= \frac%7BR_2\cdot U_1+R_1\cdot U_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot \frac%7BR_1+R_2%7D%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a + R_2 \cdot R_a%7D = \frac%7BR_2\cdot U_1+R_1\cdot U_2%7D%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a + R_2 \cdot R_a%7D \end%7Bgather*%7D

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Lösung 10.4:

Verhältnis der Schaltelemente für

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body R_a=0

bestimmen:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_a=0 \longrightarrow R_2\cdot U_1 + R_1 \cdot U_2 =0 \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_1%7D%7BR_1%7D= -\frac%7BU_2%7D%7BR_2%7D \end%7Bgather*%7D

Aufgabe 03-11:

Gegeben ist folgende Schaltung:

Zahlenwerte:   

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body --uriencoded--U_%7Bq1%7D=10\;V;\;\;\;\;\;\;\;\;I_0=3\;A;\;\;\;\;\;\;\;\; R_1=15\;\Omega;\;\;\;\;\;\;\;\;R_2=5\;\Omega.

11.1 Bestimmen Sie den Innenwiderstand 

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body R_i

 des Netzwerkes bezüglich der Klemmen A und B.
11.2 Bestimmen Sie die Leerlaufspannung 

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body U_0

 des Netzwerks mit den beiden Quellen bezüglich der Klemmen A und B.
11.3 Der Belastungswiderstand 

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body R_B

 sei zwischen 

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body 1\;\Omega

 und 

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body 10\;\Omega

 veränderlich. Auf welchen Wert muss er eingestellt werden, damit in ihm die maximale Leistung umgesetzt wird? 

Es sei nun 

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body R_B=0

 (Kurzschluss).

11.4 Bestimmen Sie die Einzelleistungen der beiden Quellen. Geben Sie an, ob die Quellen Leistungen aufnehmen oder abgeben

Lösung 11.1:

Die Stromquelle

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body I_0

hat einen unendlichen Innenwiderstand, lediglich die Spannungsquelle 

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body --uriencoded--U_%7Bq1%7D

ist kurzgeschlossen:

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body --uriencoded-- \hspace%7B5ex%7D R_i=R_1= 15\Omega

Lösung 11.2:

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body --uriencoded-- U_0= U_%7Bq1%7D+I_0\cdot R_1= 55\mathrm%7BV%7D

Lösung 11.3:

maximale Leistung bei

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i= R_a \end%7Bgather*%7D

ist in diesen Fall nicht möglich, daher

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body R_B= 10 \Omega

Lösung 11.4:

Stromquelle:

Die Spannung über der Stromquelle entspricht aufgrund des Kurzschlusses genau der Spannung über R₂.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_%7BI0%7D=-I_0%5e2\cdot R_2=-45\mathrm%7BW%7D \rightarrow \text%7BLeistungsabgabe%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Spannungsquelle:

Der Strom durch die Spannungsquelle entspricht genau dem Strom durch R₁.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_%7BUq1%7D=-\frac%7B(U_%7Bq1%7D%5e2)%7D%7BR_1%7D =-6,67 \mathrm%7BW%7D \rightarrow \text%7BLeistungsabgabe%7D\\ \end%7Bgather*%7D