DC Widerstandsnetzwerke

Aufgabe 03-1:

Gegeben sind die Widerstände:

1.1  Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B.

1.2  Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B, der Klemmen A und C und der Klemmen A und D.

1.3   Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B und der Klemmen C und D.

Lösung 1.1:

Verschaltung erkennen:

Reihenwiderstände berechnen sich, in dem die beiden Einzelwiderstände addiert werden.

Parallelwiderstände berechnen sich, in dem die Kehrwerte der Einzelwiderstände addiert werden und anschließend der Kehrwert dieser Summe gebildet wird.

Bei lediglich zwei parallelen Widerständen lässt sich die Formel vereinfacht folgendermaßen darstellen:

Hier wird nun zunächst der Ersatzwiderstand 

 aus 

 und 

  bestimmt und dann der Gesamtersatzwiderstand Rges aus 

 und 

  bestimmt.

Lösung 1.2 - AB:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Lösung 1.2 - AC:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Lösung 1.2 - AD:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Zwischen den Klemmen B und D befindet sich kein Schaltelement, daher handelt es sich um die gleiche Position im Schaltbild wie zwischen den Klemmen A und B.

Lösung 1.3 - AB:

Verschaltung erkennen:

Lösung 1.3 - CD:

Verschaltung erkennen:

Aufgabe 03-2:

Es ist die untenstehende Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

2.1 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Schaltung (von der Quelle aus gesehen).
2.2 Berechnen Sie den Strom 

.

Die folgenden Teilaufgaben können Sie entweder mit Hilfe der Spannungs- / Stromteilerregel oder mit Hilfe des ohmschen Gesetzes lösen:

2.3 Berechnen Sie die Spannungen 

 und 

.
2.4 Berechnen Sie die Ströme 

 und 

.
2.5 Erklären Sie mit Ihren eigenen Worten, warum sich die Spannungen

 und 

und die Ströme

 und 

wie berechnet verhalten.

Hinweis: Bei Parallelschaltung: Gleiche Spannung an den Widerständen

Hinweis: Neue Hilfsmittel benennen und Formeln erfragen. (Spannungsteiler, Stromteiler, Ohm‘sches Gesetz)

Lösung 2.1:

Lösung 2.2:

fließt durch den gesamten Widestand und

fällt darüber ab, daher kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden:

.

Lösung 2.3:

und

werden zusammengefasst:

.

Mit der Spannungsteilerregel kann

und

berechnet werden.

,

.

Alternativ kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden, da

berechnet wurde und somit bekannt ist.

Lösung 2.4:

Mittels Stromteilerregel lassen sich

und

berechnen:

,

Alternativ kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden, da

bekannt ist.

DC Widerstandsnetzwerke und Leistungsabgabe

Aufgabe 03-3:

Es ist die untenstehende Spannungsteiler-Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

3.1 Berechnen Sie die an den beiden Widerständen abfallenden Spannungen 

 und 

.
3.2 Welcher Strom 

 fließt durch die beiden Widerstände?
3.3 Welche Leistungen 

 und 

 nehmen die beiden Widerstände auf? Wie groß ist die Leistung

der Quelle?

Lösung 3.1:

Anwenden des Spannungsteilers:

Lösung 3.2:

Berechnen des Gesamtwiderstands, um Ohm'sches Gesetz anzuwenden, da der Strom durch

 und

gleich groß ist:

Hinweis: Einheiten beachten

Lösung 3.3:

Die Leistung der Quelle ist negeativ, da diese Leistung an die Verbraucher abgibt. Diese Notation entspricht dem Verbraucherzählpfeilsystem.

Aufgabe 03-4:

Es ist die untenstehende Schaltung zur Versorgung eines Verbrauchers 

 aus einer Quelle 

) mit folgenden Werten gegeben:

4.1 Berechnen Sie die von der Spannungsquelle 

 abgegebene Leistung 

, die im Verbraucher (

) umgesetzte Leistung 

 und die im Innenwiderstand 

 umgesetzte Leistung 

.
4.2 Ermitteln Sie den Wirkungsgrad 

 der Leistungsabgabe.
4.3 Leiten Sie her, welchen Wert

 haben muss, damit in ihm die maximal abgebbare Leistung 

 umgesetzt wird? Wie hoch ist diese Leistung?
(Hinweis: Bedenken Sie hierbei die mathematischen Grundlagen für ein Maximum, d.h. finden Sie eine Funktion für die Leistung, die nur von konstanten Werten und dem gesuchten (variablen) Widerstand

abhängt.).

Lösung 4.1:

Der Strom I berechnet sich mit

:

Ineinander Einsezen ergibt die Abgegebene Leistung von

;

Die Spannung

fällt über dem Widerstand

ab. Diese Spannung kann mit der Spannungsteilerregel berechnet werden:

Die Spannung

fällt über dem Widerstand

ab. Diese Spannung kann mit der Spannungsteilerregel berechnet werden:

Hinweis: Desweiteren gilt

, da allgemein keine weiteren Verluste angenommen werden. (

beinhaltet alle inneren Verlustwiderstände,

stellt somit die Verlustleistung dar).

Lösung 4.2:

Lösung 4.3:

Die Leistung

berechnet sich mit folgender Gleichung:

.

Diese wird maximal für:

Produktregel: 

Extrema berechnen:

Maximum prüfen durch Einsetzen von  

 in 

Durch 

 und 

   wird 

und damit das Maxima bewiesen:

Ersatzspannungsquellen & DC-Netzwerke

Aufgabe 03-5:

Gegeben ist das gezeichnete Netzwerk mit der Spannung U und den Widerständen 

und

.

5.1 Bestimmen Sie die Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2.
5.2 Berechnen Sie den Strom 

 bei Kurzschluß der Klemmen 1 und 2 (durch 

) für die ursprüngliche Schaltung durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln. Vergleichen Sie mit dem Strom 

, der sich bei Kurzschluß der Ersatzspannungsquelle ergibt.
5.3 Geben Sie die Ersatzstromquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2 an.

Lösung 5.1:

Der Innenwiderstand 

  ist der Ersatzwiderstand bzgl. der Klemmen 1 und 2:

Im Leerlauffall fließt durch den Widerstand R₃ kein Strom und es fällt deshalb keine Spannung über diesem Widerstand ab. Daher entspricht die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen 1 und 2 der Spannung, die über dem Widerstand 

 abfällt.
Mithilfe des Spannungsteilers ergibt sich:

Lösung 5.2:

Berechnung von

:

Bei Anwendung der Kirchhoff'schen Regeln ist zu beachten, dass in dieser Schaltung eine unabhängige Knotengleichung und 2 unabhängige Maschengleichungen möglich sind. Der Kurzschluss ergibt sich durch direkt Verbindung der Klemmen. Damit sieht das Schaltbild wie folgt aus:

Die Knotengleichung am oberen Knoten lautet:

Die Maschengeichungen lauten:

Damit ergibt sich:

Es folgt:

Es kann auch alternativ mit dem Ersatzwiderstand gerechnet werden ohne die Knoten- und Maschengleichungen vollständig aufzustellen (dieser Weg ist auch zu bevorzugen, da er weniger fehleranfällig ist):

Der Strom I ergibt sich aus dem Gesamtwiderstand

und der Spannung U.

Der Stromteiler ergibt den Strom

:

Berechnung von

:

Der Strom

fließt bei Kurzschließen der Ersatzspannungsquelle.

Es lässt sich feststellen, dass in beiden Fällen der gleiche Kurzschlussstrom fließt, da die Ersatzquelle nach außen das gleiche Verhalten aufweist wie die ursprüngliche Schaltung.

Lösung 5.3:

Der Innenwiderstand

bleibt in beiden Fällen gleich. Damit kann der Kurzschlussstrom einberechnet werden. Es gilt der Zusammenhang

.

Aufgabe 03-6:

Gegeben ist die folgende Schaltung mit den Werten:

6.1 Geben Sie für die gezeichnete Schaltung bezüglich der Klemmen 1 und 2 die Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand an.
6.2 Welchen Wert muss ein an den Klemmen 1 und 2 angeschlossener Widerstand 

 besitzen, damit die in ihm umgesetzte Leistung maximal ist?

Zusatzaufgabe:

6.3 Wie groß ist im Fall 6.2 der Wirkungsgrad der Anordnung, wenn als Nutzleistung die im Außenwiderstand 

 umgesetzte Leistung anzusehen ist (nicht vom Ersatzschaltbild ausgehen!)? Wie groß wäre der Wirkungsgrad, wenn Sie vom Ersatzschaltbild ausgehen würden?

Lösung 6.1:

Schaltbild der Ersatzspannungsquelle:

Um den Innenwiederstand

zu berechnen, muss die Spannungsquelle 

kurzgeschlossen werden und der Gesamtwiederstand bezüglich der Klemmen 1 und 2 berechnet werden.

Um die Ersatzspannung zu berechnen, können gezielt Maschen und Knoten gelegt werden:

Maschen:

Knoten:

Der Strom 

  ist der Strom, der durch die Quelle fließt, deshalb kann dieser mittels 

berechnet werden. Der Gesamtwiederstand  

  ist der Ersatzwiederstand bezüglich der Spannungsquelle:

Einsetzen in die Masche II liefert den Strom 

Einsetzen in Knoten A liefert den Strom 

Einsetzen in Masche I liefert die Spannung  

Lösung 6.2:

Die maximale Leistung wird bei

umgesetzt (vgl. Übungsblatt 3, Aufgabe 2).

Lösung Zusatzaufgabe 6.3:

Eine Ersatzspannungs/Ersatzstrom-Quelle ist in ihrer Wirkung nur nach Außen der Originalschaltung äquivalent, innerhalb der Schaltung hat die Ersatzquelle ein völlig anderes Verhalten.

Der Wirkungsgrad der Anordnung ergibt sich aus dem Quotienten der Leistung die im Wiederstand  

  umgesetzt wird und der Leistung, die von der Quelle abgegeben wird.

Um die entsprechenden Leistungen zu ermitteln, müssen die Ströme durch Quelle und Ver-braucherwiederstand ermittelt werden. Maschen- und Knotengleichungen ergeben ein 6x6 LGS.

Maschen:

Knoten:

Da das LGS verhältnismäßig komplex ist, empfiehlt es sich, auf eine händische Lösung zu verzichten und z.B. auf Programme wie Matlab zurückzugreifen.

Für die beiden benötigten Größen

und  I ergeben sich die folgenden Werte:

Damit lassen sich die Leistungen in Wiederstand und Quelle bestimmen.

Nun kann der Wirkungsgrad der Anordnung bestimmt werden.

Wird jedoch von der (vereinfachten) Ersatzquelle ausgegangen, besteht diese Schaltung lediglich aus der Reihenschaltung der Leerlaufspannung und von

und

. Da

und

den gleichen Wert haben und durch beide der gleiche Strom fließt, fällt über beiden die gleiche Spannung ab. Damit wird in beiden Widerständen die gleiche Leistung umgesetzt. Das bedeutet, dass der Wirkungsgrad

=50 % beträgt. Allgemein lässt sich sagen, dass der Wirkungsgrad der Ersatzquellenschaltung größer als der der tatsächlichen Schaltung ist. Das liegt daran, dass in der tatsächlichen Schaltung weitere innere Ströme über inneren Widerständen "ünnötig im Kreis fließen" können und damit internen zu Verlusten führen, welche in der Ersatzquelle nicht abgebildet werden.

Aufgabe 03-7:

Gegeben ist das folgende Netzwerk.

Es sind die folgenden Werte bekannt:

7.1 Bestimmen Sie die Spannung 

 durch direkte Anwendung der Kirchhoffschen Sätze (Knoten- und Maschenregel). Stellen Sie hierzu das erforderliche lineare Gleichungssystem auf. (Die Lösung dieses LGS ist aufwändig.)

Lösung 7.1:

Es liegen mit

bis 

und

  vier Unbekannte vor, demnach sind zum lösen des LGS vier Gleichungen notwendig.

Maschen:

Knoten A und der Knoten an dem sich der Strom

das erste mal Aufteilt sind zusammengefasst:

Durch umformen von Masche III ergibt sich:

Einsetzen in Masche II liefert:

Durch Umformen von Knoten A ergibt sich:

Einsetzen von ( 3 ) in Masche I ergibt:

Umstellen von ( 2 ) nach

ergibt:

Einsetzen von ( 5 ) in ( 4 ) liefert:

Umstellen nach

führt zu:

Einsetzen in ( 1 ) liefert schließlich das Ergebnis für

.

Superpositionsprinzpien

Aufgabe 03-8:

Gegeben sind: 

Berechnen Sie den Strom 

 mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens.

Lösung:

Betrachtung

:

Stromquelle wird durch unterbrochenen Leiter ersetzt.

berechnen:

Betrachtung

:

Spannungsquelle wird kurzgeschlossen.

berechnen:

ausrechnen:

Aufgabe 03-9:

Gegeben ist folgende Schaltung:

Nehmen Sie

und

als bekannt an.
Der linke Teil der Schaltung, bestehend aus den vier Komponenten

und

, wird im folgenden als Quelle betrachtet. Der Recht Teil, bestehend aus dem Schalter und R₃ wird als Verbraucher betrachtet.

Zunächst sei S geöffnet.

9.1 Berechnen Sie den Strom 

.
9.2 Bestimmen Sie eine Ersatzspannungsquelle (

, 

) bezüglich der Klemmen A und B.

Nun sei S geschlossen. 

9.3 Berechnen Sie den Strom 

 mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B. (Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den gesuchten Strom über die Knoten- und Maschengleichungen und prüfen Sie, ob dieser Strom identisch ist.)
9.4 Wie muss 

 gewählt werden, damit 

 wird?
9.5 Wie groß wird für 

 der Kurzschlußstrom 

?
9.6 Geben Sie eine Ersatzstromquelle mit der Spannung 

 bezüglich der Klemmen A und B an, die ebenfalls eine Berechnung des Stromes 

 gestattet.
9.7 Bei welchem Wert für 

 ist die an 

 abgegebene Leistung maximal. Geben Sie 

 und 

 an.

Lösung 9.1:

Überlagerungsverfahren: 

Lösung 9.2:

 

Die Berechnung des Innenwiderstandes

 erfolgt über Kurzschließen der Spannungquelle

und dem Öffnen der Stromquelle

 Bezüglich der Klemmen A – B wird der Innenwiderstand 

Lösung 9.3:

Die Bestimmung über Knoten- und Maschengleichungen liefert exakt den gleichen Wert für

, erfodert aber eine höhere Anzahl an Rechenschritten. Wenn lediglich ein bestimmter Strom oder eine bestimmte Spannung gesucht ist, ist das Überlagerungsverfahren zielgerichteter, da nicht alle (ungesuchten) Ströme/Spannungen berechnet werden müssen, sondern zielgerichtet die gesuchte Größe ermittelt wird.

Lösung 9.4:

Lösung 9.5:

Lösung 9.6:

Wenn in der Übungsgruppe noch nicht besprochen:

Hier:

 schon genutzt, deswegen 

Lösung 9.7:

Im äußeren Widerstand wird die maximale Leistung umgesetzt, wenn dieser dem Innenwiderstand entspricht.
Die Leistung am Widerstand ergibt sich aus Strom und Spannung an diesem Widerstand.

Nun wird für den Wert des äußeren Widerstand der Innenwiderstand eingesetzt und der Term vereinfacht.

DC Schaltungen mit Entwurfsaufgaben

Aufgabe 03-10:

Zwei Spannungsquellen mit den konstanten Spannungen 

 und 

 und den Innenwiderständen  und  sind parallel geschaltet.