DC Widerstandsnetzwerke

Aufgabe 03-1:

Gegeben sind die Widerstände:

1.1 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B.

1.2 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B, der Klemmen A und C und der Klemmen A und D.

1.3 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B und der Klemmen C und D.

Lösung 1.1:

Verschaltung erkennen:

Reihenwiderstände berechnen sich, in dem die beiden Einzelwiderstände addiert werden.

Parallelwiderstände berechnen sich, in dem die Kehrwerte der Einzelwiderstände addiert werden und anschließend der Kehrwert dieser Summe gebildet wird.

Bei lediglich zwei parallelen Widerständen lässt sich die Formel vereinfacht folgendermaßen darstellen:

Hier wird nun zunächst der Ersatzwiderstand aus und bestimmt und dann der Gesamtersatzwiderstand Rges aus und bestimmt.

Lösung 1.2 - AB:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Lösung 1.2 - AC:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Lösung 1.2 - AD:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Zwischen den Klemmen B und D befindet sich kein Schaltelement, daher handelt es sich um die gleiche Position im Schaltbild wie zwischen den Klemmen A und B.

Lösung 1.3 - AB:

Verschaltung erkennen:

Lösung 1.3 - CD:

Verschaltung erkennen:

Aufgabe 03-2:

Es ist die untenstehende Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

2.1 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Schaltung (von der Quelle aus gesehen).
2.2 Berechnen Sie den Strom .

Die folgenden Teilaufgaben können Sie entweder mit Hilfe der Spannungs- / Stromteilerregel oder mit Hilfe des ohmschen Gesetzes lösen:

2.3 Berechnen Sie die Spannungen und .
2.4 Berechnen Sie die Ströme und .
2.5 Erklären Sie mit Ihren eigenen Worten, warum sich die Spannungen und und die Ströme und wie berechnet verhalten.

Hinweis: Bei Parallelschaltung: Gleiche Spannung an den Widerständen

Hinweis: Neue Hilfsmittel benennen und Formeln erfragen. (Spannungsteiler, Stromteiler, Ohm‘sches Gesetz)

Lösung 2.1:

Lösung 2.2:

fließt durch den gesamten Widestand und fällt darüber ab, daher kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden: .

Lösung 2.3:

und werden zusammengefasst:

.

Mit der Spannungsteilerregel kann und berechnet werden.

,

.

Alternativ kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden, da berechnet wurde und somit bekannt ist.

Lösung 2.4:

Mittels Stromteilerregel lassen sich und berechnen:

,

Alternativ kann mit dem Ohm'schen Gesetz gerechnet werden, da bekannt ist.

DC Widerstandsnetzwerke und Leistungsabgabe

Aufgabe 03-3:

Es ist die untenstehende Spannungsteiler-Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

3.1 Berechnen Sie die an den beiden Widerständen abfallenden Spannungen  und .
3.2 Welcher Strom  fließt durch die beiden Widerstände?
3.3 Welche Leistungen  und  nehmen die beiden Widerstände auf? Wie groß ist die Leistung der Quelle?

Lösung 3.1:

Anwenden des Spannungsteilers:

Lösung 3.2:

Berechnen des Gesamtwiderstands, um Ohm'sches Gesetz anzuwenden, da der Strom durch und gleich groß ist:

Hinweis: Einheiten beachten

Lösung 3.3:

Die Leistung der Quelle ist negeativ, da diese Leistung an die Verbraucher abgibt. Diese Notation entspricht dem Verbraucherzählpfeilsystem.

Aufgabe 03-4:

Es ist die untenstehende Schaltung zur Versorgung eines Verbrauchers aus einer Quelle ) mit folgenden Werten gegeben:

4.1 Berechnen Sie die von der Spannungsquelle  abgegebene Leistung , die im Verbraucher () umgesetzte Leistung  und die im Innenwiderstand  umgesetzte Leistung .
4.2 Ermitteln Sie den Wirkungsgrad  der Leistungsabgabe.
4.3 Leiten Sie her, welchen Wert haben muss, damit in ihm die maximal abgebbare Leistung  umgesetzt wird? Wie hoch ist diese Leistung?
(Hinweis: Bedenken Sie hierbei die mathematischen Grundlagen für ein Maximum, d.h. finden Sie eine Funktion für die Leistung, die nur von konstanten Werten und dem gesuchten (variablen) Widerstand abhängt.).

Lösung 4.1:

Der Strom I berechnet sich mit :

Ineinander Einsezen ergibt die Abgegebene Leistung von ;

Die Spannung fällt über dem Widerstand ab. Diese Spannung kann mit der Spannungsteilerregel berechnet werden:

Hinweis: Desweiteren gilt , da allgemein keine weiteren Verluste angenommen werden. ( beinhaltet alle inneren Verlustwiderstände, stellt somit die Verlustleistung dar).

Lösung 4.2:

Lösung 4.3:

Die Leistung berechnet sich mit folgender Gleichung:

.

Diese wird maximal für:

Produktregel:

Extrema berechnen:

Maximum prüfen durch Einsetzen von in

Durch und wird und damit das Maxima bewiesen:

Ersatzspannungsquellen & DC-Netzwerke

Aufgabe 03-5:

Gegeben ist das gezeichnete Netzwerk mit der Spannung U und den Widerständen und .

5.1 Bestimmen Sie die Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2.
5.2 Berechnen Sie den Strom bei Kurzschluß der Klemmen 1 und 2 (durch ) für die ursprüngliche Schaltung durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln. Vergleichen Sie mit dem Strom , der sich bei Kurzschluß der Ersatzspannungsquelle ergibt.
5.3 Geben Sie die Ersatzstromquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2 an.

Lösung 5.1:

Der Innenwiderstand ist der Ersatzwiderstand bzgl. der Klemmen 1 und 2:

Im Leerlauffall fließt durch den Widerstand R₃ kein Strom und es fällt deshalb keine Spannung über diesem Widerstand ab. Daher entspricht die Leerlaufspannung zwischen den Klemmen 1 und 2 der Spannung, die über dem Widerstand abfällt.
Mithilfe des Spannungsteilers ergibt sich:

Lösung 5.2:

Berechnung von :

Bei Anwendung der Kirchhoff'schen Regeln ist zu beachten, dass in dieser Schaltung eine unabhängige Knotengleichung und 2 unabhängige Maschengleichungen möglich sind. Der Kurzschluss ergibt sich durch direkt Verbindung der Klemmen. Damit sieht das Schaltbild wie folgt aus:

Die Knotengleichung am oberen Knoten lautet:

Die Maschengeichungen lauten:

Damit ergibt sich:

Es folgt:

Es kann auch alternativ mit dem Ersatzwiderstand gerechnet werden ohne die Knoten- und Maschengleichungen vollständig aufzustellen (dieser Weg ist auch zu bevorzugen, da er weniger fehleranfällig ist):

Der Strom I ergibt sich aus dem Gesamtwiderstand und der Spannung U.

Der Stromteiler ergibt den Strom :

Berechnung von :

Der Strom fließt bei Kurzschließen der Ersatzspannungsquelle.

Es lässt sich feststellen, dass in beiden Fällen der gleiche Kurzschlussstrom fließt, da die Ersatzquelle nach außen das gleiche Verhalten aufweist wie die ursprüngliche Schaltung.

Lösung 5.3:

Der Innenwiderstand bleibt in beiden Fällen gleich. Damit kann der Kurzschlussstrom einberechnet werden. Es gilt der Zusammenhang .

Aufgabe 03-6:

Gegeben ist die folgende Schaltung mit den Werten:

6.1 Geben Sie für die gezeichnete Schaltung bezüglich der Klemmen 1 und 2 die Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand an.
6.2 Welchen Wert muss ein an den Klemmen 1 und 2 angeschlossener Widerstand besitzen, damit die in ihm umgesetzte Leistung maximal ist?

Zusatzaufgabe:

6.3 Wie groß ist im Fall 6.2 der Wirkungsgrad der Anordnung, wenn als Nutzleistung die im Außenwiderstand umgesetzte Leistung anzusehen ist (nicht vom Ersatzschaltbild ausgehen!)? Wie groß wäre der Wirkungsgrad, wenn Sie vom Ersatzschaltbild ausgehen würden?

Lösung 6.1:

Schaltbild der Ersatzspannungsquelle:

Um den Innenwiederstand zu berechnen, muss die Spannungsquelle kurzgeschlossen werden und der Gesamtwiederstand bezüglich der Klemmen 1 und 2 berechnet werden.

Um die Ersatzspannung zu berechnen, können gezielt Maschen und Knoten gelegt werden:

Maschen:

Knoten:

Der Strom ist der Strom, der durch die Quelle fließt, deshalb kann dieser mittels

berechnet werden. Der Gesamtwiederstand ist der Ersatzwiederstand bezüglich der Spannungsquelle:

Einsetzen in die Masche II liefert den Strom

Einsetzen in Knoten A liefert den Strom

Einsetzen in Masche I liefert die Spannung

Lösung 6.2:

Die maximale Leistung wird bei umgesetzt (vgl. Übungsblatt 3, Aufgabe 2).

Lösung Zusatzaufgabe 6.3:

Eine Ersatzspannungs/Ersatzstrom-Quelle ist in ihrer Wirkung nur nach Außen der Originalschaltung äquivalent, innerhalb der Schaltung hat die Ersatzquelle ein völlig anderes Verhalten.

Der Wirkungsgrad der Anordnung ergibt sich aus dem Quotienten der Leistung die im Wiederstand umgesetzt wird und der Leistung, die von der Quelle abgegeben wird.

Um die entsprechenden Leistungen zu ermitteln, müssen die Ströme durch Quelle und Ver-braucherwiederstand ermittelt werden. Maschen- und Knotengleichungen ergeben ein 6x6 LGS.

Maschen:

Knoten:

Da das LGS verhältnismäßig komplex ist, empfiehlt es sich, auf eine händische Lösung zu verzichten und z.B. auf Programme wie Matlab zurückzugreifen.

Für die beiden benötigten Größen und I ergeben sich die folgenden Werte:

Damit lassen sich die Leistungen in Wiederstand und Quelle bestimmen.

Nun kann der Wirkungsgrad der Anordnung bestimmt werden.

Wird jedoch von der (vereinfachten) Ersatzquelle ausgegangen, besteht diese Schaltung lediglich aus der Reihenschaltung der Leerlaufspannung und von und . Da und den gleichen Wert haben und durch beide der gleiche Strom fließt, fällt über beiden die gleiche Spannung ab. Damit wird in beiden Widerständen die gleiche Leistung umgesetzt. Das bedeutet, dass der Wirkungsgrad =50 % beträgt. Allgemein lässt sich sagen, dass der Wirkungsgrad der Ersatzquellenschaltung größer als der der tatsächlichen Schaltung ist. Das liegt daran, dass in der tatsächlichen Schaltung weitere innere Ströme über inneren Widerständen "ünnötig im Kreis fließen" können und damit internen zu Verlusten führen, welche in der Ersatzquelle nicht abgebildet werden.

Aufgabe 03-7:

Gegeben ist das folgende Netzwerk.

Es sind die folgenden Werte bekannt:

7.1 Bestimmen Sie die Spannung durch direkte Anwendung der Kirchhoffschen Sätze (Knoten- und Maschenregel). Stellen Sie hierzu das erforderliche lineare Gleichungssystem auf. (Die Lösung dieses LGS ist aufwändig.)

Lösung 7.1:

Es liegen mit bis und vier Unbekannte vor, demnach sind zum lösen des LGS vier Gleichungen notwendig.

Maschen:

Knoten A und der Knoten an dem sich der Strom das erste mal Aufteilt sind zusammengefasst:

Durch umformen von Masche III ergibt sich:

Einsetzen in Masche II liefert:

Durch Umformen von Knoten A ergibt sich:

Einsetzen von ( 3 ) in Masche I ergibt:

Umstellen von ( 2 ) nach ergibt:

Einsetzen von ( 5 ) in ( 4 ) liefert:

Umstellen nach führt zu:

Einsetzen in ( 1 ) liefert schließlich das Ergebnis für .

Superpositionsprinzpien

Aufgabe 03-8:

Gegeben sind:
Berechnen Sie den Strom mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens.

Lösung:

Betrachtung :

Stromquelle wird durch unterbrochenen Leiter ersetzt.

berechnen:

Betrachtung :

Spannungsquelle wird kurzgeschlossen.

berechnen:

ausrechnen:

Aufgabe 03-9:

Gegeben ist folgende Schaltung:

Nehmen Sie und als bekannt an.
Der linke Teil der Schaltung, bestehend aus den vier Komponenten und , wird im folgenden als Quelle betrachtet. Der Recht Teil, bestehend aus dem Schalter und R₃ wird als Verbraucher betrachtet.

Zunächst sei S geöffnet.

9.1 Berechnen Sie den Strom .
9.2 Bestimmen Sie eine Ersatzspannungsquelle (, ) bezüglich der Klemmen A und B.

Nun sei S geschlossen.

9.3 Berechnen Sie den Strom  mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B. (Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den gesuchten Strom über die Knoten- und Maschengleichungen und prüfen Sie, ob dieser Strom identisch ist.)
9.4 Wie muss  gewählt werden, damit  wird?
9.5 Wie groß wird für  der Kurzschlußstrom ?
9.6 Geben Sie eine Ersatzstromquelle mit der Spannung  bezüglich der Klemmen A und B an, die ebenfalls eine Berechnung des Stromes  gestattet.
9.7 Bei welchem Wert für  ist die an  abgegebene Leistung maximal. Geben Sie  und  an.

Lösung 9.1:

Überlagerungsverfahren:

Lösung 9.2:

Die Berechnung des Innenwiderstandes erfolgt über Kurzschließen der Spannungquelle und dem Öffnen der Stromquelle Bezüglich der Klemmen A – B wird der Innenwiderstand

Lösung 9.3:

Die Bestimmung über Knoten- und Maschengleichungen liefert exakt den gleichen Wert für , erfodert aber eine höhere Anzahl an Rechenschritten. Wenn lediglich ein bestimmter Strom oder eine bestimmte Spannung gesucht ist, ist das Überlagerungsverfahren zielgerichteter, da nicht alle (ungesuchten) Ströme/Spannungen berechnet werden müssen, sondern zielgerichtet die gesuchte Größe ermittelt wird.

Lösung 9.4:

Lösung 9.5:

Lösung 9.6:

Wenn in der Übungsgruppe noch nicht besprochen:

Hier: schon genutzt, deswegen

Lösung 9.7:

Im äußeren Widerstand wird die maximale Leistung umgesetzt, wenn dieser dem Innenwiderstand entspricht.
Die Leistung am Widerstand ergibt sich aus Strom und Spannung an diesem Widerstand.

Nun wird für den Wert des äußeren Widerstand der Innenwiderstand eingesetzt und der Term vereinfacht.

DC Schaltungen mit Entwurfsaufgaben

Aufgabe 03-10:

Zwei Spannungsquellen mit den konstanten Spannungen und und den Innenwiderständen und sind parallel geschaltet.

10.1 Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze (Knoten- und Maschenregel) die drei Ströme  ,  und  sowie die Spannung an. Es gilt: und .
10.2 Zeigen Sie, dass man mit Hilfe des Überlagerungssatzes die gleichen Wert für die drei Ströme erhält, wie unter 1.1. ( Ω und )
10.3 Wandeln Sie die Schaltung aus , ,  und  in eine äquivalente Ersatzquelle der Klemmen A und B um und berechnen Sie dann den Strom .
10.4 Welcher Bedingung müssen die beiden Spannungsquellen genügen, damit kein Strom durch den Widerstand  fließt?

Lösung 10.1:

Es ist zweckmäßig, die folgenden Berechnungen ohne Einheiten mit reinen Zahlenwerten durchzuführen, um den Rechenaufwand zu reduzieren:

Knoten A:

Masche 1:

Masche 2:

Lösen:

Lösung 10.2:

Berechnung mit Spannungsquelle :

HINWEIS: Auf das Vorzeichen hinweisen! Es muss bei der Überlagerung richtig berücksichtigt werden.

Berechnung mit Spannungsquelle :

Endergebnisse berechnen:

Lösung 10.3:

Lösung 10.4:

Verhältnis der Schaltelemente für bestimmen:

Aufgabe 03-11:

Gegeben ist folgende Schaltung:

Zahlenwerte:

11.1 Bestimmen Sie den Innenwiderstand  des Netzwerkes bezüglich der Klemmen A und B.
11.2 Bestimmen Sie die Leerlaufspannung  des Netzwerks mit den beiden Quellen bezüglich der Klemmen A und B.
11.3 Der Belastungswiderstand  sei zwischen  und  veränderlich. Auf welchen Wert muss er eingestellt werden, damit in ihm die maximale Leistung umgesetzt wird?

Es sei nun (Kurzschluss).

11.4 Bestimmen Sie die Einzelleistungen der beiden Quellen. Geben Sie an, ob die Quellen Leistungen aufnehmen oder abgeben

Lösung 11.1:

Die Stromquelle hat einen unendlichen Innenwiderstand, lediglich die Spannungsquelle ist kurzgeschlossen:

Lösung 11.2:

Lösung 11.3:

maximale Leistung bei ist in diesen Fall nicht möglich, daher

Lösung 11.4:

Stromquelle:

Die Spannung über der Stromquelle entspricht aufgrund des Kurzschlusses genau der Spannung über R₂.

Spannungsquelle:

Der Strom durch die Spannungsquelle entspricht genau dem Strom durch R₁.