...
5.3 Wie lautet
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--f= \frac%7B\underline U_\mathrm a%7D%7B\underline U_\mathrm e%7D |
|---|
|
für
gegen unendlich ?
Lösung 5.
...
1
Es sind in der Schaltung Beziehungen zu suchen, die zwischen
. Geben Sie für diesen Fall | --uriencoded--\(\underline%7BU_a%7D\) |
|
und Es sind in der Schaltung Beziehungen zu suchen, die zwischen an.5.4 Skizzieren Sie die Phasenverschiebung
zwischen und als Funktion der Frequenz. Lösung 5.1
| --uriencoded--\( \underline %7BU_e%7D\) |
|
einen Zusammenhang erzeugen. Dazu werden Gleichungen aufgestellt, die die Schaltung beschreiben....
I:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded-- \begin%7Baligned%7D \underline%7BI%7D_1R_1=\underline%7BI%7D_2R_2 \rightarrow \underline%7BI%7D_1 = \frac%7BR_2%7D%7BR_1%7D\underline%7BI%7D_2 \end%7Baligned%7D |
|---|
|
II:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Baligned%7D \underline%7BU%7D_e = \underline%7BI%7D_1R_1+\underline%7BI%7D_1R_3+\underline%7BU%7D_a = \underline%7BI%7D_2R_2+\underline%7BI%7D_2\underline%7BZ%7D_c \rightarrow \underline%7BI%7D_2 = \frac%7B\underline%7BU%7D_e%7D%7BR_2+R_1%7D \end%7Baligned%7D |
|---|
|
III:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\(\underline%7BU_a%7D\) |
|---|
|
und | underline%7BU%7D_e = \underline%7BI%7D_1R_1+\underline%7BI%7D_1R_3+\underline%7BU%7D_a |
|
II in I und I in III:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\( begin%7Baligned%7D \underline %7BU_e%7D\) |
|---|
|
einen Zusammenhang erzeugen. Dazu werden Gleichungen aufgestellt, die die Schaltung beschreiben.Die Impedanz der Kapazität C ergibt sich zu:| underline%7BI%7D_1 = \frac%7B\underline%7BU%7D_eR_2%7D%7BR_1(R2+Z_c)%7D \end%7Baligned%7D |
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Baligned%7D \underline%7BU%7D_e = \frac%7BR_1R_2\underline%7BU_e%7D%7D%7BR_1(R_2+Z_c)%7D+\frac%7BR_2R_3\underline%7BU_e%7D%7D%7BR_1(R_2+Z_c)%7D+U_a \end%7Baligned%7D |
|---|
|
nach
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D Z_C = -j\cdot\frac%7B1%7D%7B\omega\cdot\mathrm%7BC%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D\\ |
|---|
|
Da es sich bei der gegebenen Schaltung um eine Gegenkopplung handelt, gilt außerdem| underline%7BU%7D_a/\underline%7BU%7D_e |
|
umstellen:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_+ = U_-\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Die Spannung
kann mittels des Spannungsteilers bezüglich | Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--R_2 \hspace%7B2ex%7D Z_C |
|---|
|
ermittelt werden:| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_%7B+%7D=\frac%7BZ_C%7D%7BR_2+Z_C%7D\cdot U_e =\frac%7B1%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D\cdot U_e \\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Die Spannung
muss mithilfe des Überlagerungsverfahrens bestimmt werden, indem erst die Spannung und anschließend die Spannung nicht beachtet wird. Die gesuchte Spannung kann mithilfe des Spannungsteilers ermittelt werden.| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_e=0 \\ U_-%5e%7B'%7D=\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded-- \begin%7Bgather*%7D U_a=0\\ U_-%7B''%7D=\frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_e\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_-=U_-%7B'%7D+U_-%7B"%7D =\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a + \frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_e\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Gleichsetzen von
und ergibt:| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7B1%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D\cdot U_e =\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a+\frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_e \\ <=> U_e \cdot (\frac%7B1%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D - \frac%7BR_3%7D%7BR_1+R_3%7D)=\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_3%7D\cdot U_a \\ <=> \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D=\frac%7BR_1+R_3%7D%7BR_1 \cdot (1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2)%7D-\frac%7BR_3%7D%7BR_1%7D=\frac%7B2%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C \cdot R_2%7D-1\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Lösung 5.2
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D(\omega \rightarrow 0)=1 => U_a = U_e \\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Lösung 5.3
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D(\omega \rightarrow \infty)=-1 => U_a = - U_e \\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Lösung 5.4
Einsetzen von in ergibt:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D=\frac%7B2%7D%7B1+j \cdot \frac%7B1%7D%7BCR_2%7D\cdot C \cdot R_2%7D-1 = \frac%7B2%7D%7B1+j%7D-1 <=>U_a =\left(\frac%7B2%7D%7B1+j%7D-1\right)\cdot U_e \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Für den Betrag folgt:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D %7CU_a%7C=\left%7C\left(\frac%7B2%7D%7B1+j%7D-1\right)\cdot U_e\right %7C=\left%7C\frac%7B2%7D%7B1+j%7D-1\right%7C\cdot %7CU_e%7C=\left%7C\frac%7B2-(1+j)%7D%7B1+j%7D\right%7C\cdot %7CU_e%7C\\ =\left%7C\frac%7B2\cdot(1-j)-(1+j)\cdot (1-j)%7D%7B(1+j)\cdot (1-j)%7D\right%7C\cdot %7CU_e%7C =\left%7C\frac%7B(2-2j)- (1%5e2-j%5e2)%7D%7B1%5e2-j%5e2%7D\right%7C\cdot %7CU_e%7C\\ =\left%7C\frac%7B(2-2j)- (1-(-1))%7D%7B1-(-1)%7D\right%7C\cdot %7CU_e%7C =\left%7C\frac%7B2-2j- 2%7D%7B1+1%7D\right%7C\cdot %7CU_e%7C = %7C-j%7C \cdot %7CU_e%7C= %7CU_e%7C\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Lösung 5.4
Allgemein gilt für die komplexe Darstellung
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\(\underline%7BZ%7D=%7Cz%7C\cdot e%5e%7B(j \cdot φ)%7D.\) |
|---|
|
Die Übertragungsfunktion kann in die entsprechende Form gebracht werden:| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D=\frac%7B2%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D-1 =\frac%7B2-(1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2)%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D=\frac%7B1-j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D%7B1+j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2%7D\\ G(\omega)=\frac%7B\sqrt%7B1%5e2 +(-j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2)%5e2%7D%7D%7B\sqrt%7B1%5e2 +(j \cdot \omega \cdot C\cdot R_2)%5e2%7D%7D\cdot e%5e%7Bartan(\frac%7B-\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D)-artan(\frac%7B\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D)%7D=1 \cdot e%5e%7B-2artan(\frac%7B\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D)%7D\\ =%7CG(\omega)%7C\cdot e%5e%7B φ(\omega)%7D\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Somit ergibt sich für die Phasenverschiebung in Abhängigkeit der Frequenz:
| begin%7Baligned%7D \frac%7B\underline%7BU%7D_a%7D%7B\underline%7BU%7D_e%7D = \frac%7BR_1R_2+R_2R_3%7D%7BR_1(R_2+Z_c)%7D-1 \end%7Baligned%7D |
|
einsetzen der Werte:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Baligned%7D \frac%7B\underline%7BU%7D_a%7D%7B\underline%7BU%7D_e%7D = \frac%7B2000%7D%7B(1000+Z_c)%7D-1 \end%7Baligned%7D |
|---|
|
Die Impedanz der Kapazität C ergibt sich zu:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D Z_C = -j\cdot\frac%7B1%7D%7B\omega\cdot\mathrm%7BC%7D%7D\\ \end%7Bgather*%7D\\ |
|---|
|
, für | Mathinline |
|---|
| body | \omega \rightarrow 0: Z_C = \infty |
|---|
|
und | Mathinline |
|---|
| body | \omega \rightarrow \infty: Z_C = 0 |
|---|
|
Lösung 5.2
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D φ\frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D(\omega \rightarrow 0)=-2 \cdot artan\left(\frac%7B\omega \cdot C \cdot R_2%7D%7B1%7D\right)\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Durch das bestimmen charakteristischer Werte ergeben sich genügend Punkte, um den Verlauf zu skizieren.| =1 => U_a = U_e \\ \end%7Bgather*%7D |
|
Lösung 5.3
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded-- φ(0)=0\\ φ(\begin%7Bgather*%7D \frac%7BU_a%7D%7BU_e%7D(\omega \rightarrow \infty)= -2 \cdot 90%5e%7B\circ%7D=-180%5e%7B\circ%7D\\ φ(\frac%7B1%7D%7BR_2 \cdot C%7D)= -2 \cdot 45 %5e%7B\circ%7D= -90%5e%7B\circ%7D\\ |
|---|
|
...
| 0 => U_a = 0 \\ \end%7Bgather*%7D |
|