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10.1 Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze (Knoten- und Maschenregel) die drei Ströme 

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body I_1

 , 

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body I_2

 und 

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body I_a

 sowie die Spannung an

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body R_a

. Es gilt:

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body R_a =R_1=R_2=1 \; \Omega

und

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body U_1=U_2=2 V

.
10.2 Zeigen Sie, dass man mit Hilfe des Überlagerungssatzes die gleichen Wert für die drei Ströme erhält, wie unter 1.1. (

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body R_a =R_1=R_2=1

 Ω und

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body U_1=U_2=2 V

)
10.3 Wandeln Sie die Schaltung aus 

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body U_1

, 

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body R_1

, 

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body U_2

 und 

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body R_2

 in eine äquivalente Ersatzquelle der Klemmen A  und B um und berechnen Sie dann den Strom 

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body I_a

.
10.4 Welcher Bedingung müssen die beiden Spannungsquellen genügen, damit kein Strom durch den Widerstand 

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body R_a

 fließt?

Lösung 10.1:

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Es ist zweckmäßig, die folgenden Berechnungen ohne Einheiten mit reinen Zahlenwerten durchzuführen, um den Rechenaufwand zu reduzieren:

Knoten A:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7BA%7D: I_1+I_2=I_a \hspace%7B3ex%7D (1) \end%7Bgather*%7D

Masche 1:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7BI%7D: -U_1+I_1\cdot R_1+I_a\cdot R_a=0 \Rightarrow -2+I_1+I_a=0 \hspace%7B3ex%7D(2) \end%7Bgather*%7D

Masche 2:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7BII%7D: U_2-I_a\cdot R_a -I_2\cdot R_2 \Rightarrow 2-I_a-I_2=0\hspace%7B3ex%7D (3) \end%7Bgather*%7D

Lösen:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7Bin%7D \; (2): \hspace%7B5ex%7D I_a =2-I_1\hspace%7B3ex%7D(4)\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7B (4)\; in \; (3):%7D \hspace%7B5ex%7D 2-2+I_1-I_2=0\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1=I_2\hspace%7B3ex%7D(5) \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D \mathrm%7B (4)\; und\; (5)\; in \;(1):%7D\hspace%7B5ex%7D I_1+I_1=2-I_1\hspace%7B5ex%7D (6)\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1=\frac%7B2%7D%7B3%7D\, \mathrm A\\ I_2=\frac%7B2%7D%7B3%7D\, \mathrm A\\ I_a=\frac%7B4%7D%7B3%7D\, \mathrm A\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_a=I_a\cdot R_a=\frac%7B4%7D%7B3%7D\, \mathrm V \end%7Bgather*%7D

Lösung 10.2:

Berechnung mit Spannungsquelle

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body U_1

:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B'%7D=\frac%7BU_1%7D%7BR_%7Bges%7D%7D, R_%7Bges%7D= R_1 + \frac%7BR_2\cdot R_a%7D%7BR_2+R_a%7D= \frac%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a+R_2\cdot R_a%7D%7BR_2+R_a%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B'%7D=\frac%7BU_1\cdot(R_2+R_a)%7D%7BR_1\cdot R_2 + R_1 \cdot R_a +R_2\cdot R_a%7D=\frac%7B4%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2%5e%7B'%7D= -\frac%7BR_a%7D%7BR_2+R_a%7D . I_1%5e%7B'%7D =-\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

HINWEIS: Auf das Vorzeichen hinweisen! Es muss bei der Überlagerung richtig berücksichtigt werden.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_a%5e%7B'%7D=\frac%7BR_2%7D%7BR_2+R_a%7D\cdot I_1%5e%7B'%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Berechnung mit Spannungsquelle

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body U_2

:

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body --uriencoded-- \begin%7Bgather*%7D R_%7Bges%7D=R_2+\frac%7BR_1\cdot R_a%7D%7BR_1+R_a%7D=\frac%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a+R_2\cdot R_a%7D%7BR_1+R_a%7D \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded-- \begin%7Bgather*%7D I_2%5e%7B"%7D= \frac%7BU_2%7D%7BR_%7Bges%7D%7D = \frac%7BR_1+R_a%7D%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a+R_2\cdot R_a%7D\cdot U_2 =\frac%7B4%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_a%5e%7B"%7D =\frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_a%7D\cdot I_2%5e%7B"%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Endergebnisse berechnen:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1=I_1%5e%7B'%7D+I_1%5e%7B"%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ I_2 = I_2%5e%7B'%7D+I_2%5e%7B"%7D=\frac%7B2%7D%7B3%7D\\ I_a = I_a%5e%7B'%7D+I_a%5e%7B"%7D=\frac%7B4%7D%7B3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 10.3:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D U_0 = U_0%5e%7B' %7D+ U_0%5e%7B''%7D = \frac%7BR_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot U_1 + \frac%7BR_1%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot U_2=\frac%7BR_2\cdot U_1+R_1\cdot U_2%7D%7BR_1+R_2%7D\\ I_a = \frac%7BU_0%7D%7BR_i+R_a%7D= \frac%7BR_2\cdot U_1+R_1\cdot U_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot \frac%7BR_1+R_2%7D%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a + R_2 \cdot R_a%7D\\ = \frac%7BR_2\cdot U_1+R_1\cdot U_2%7D%7BR_1\cdot R_2+R_1\cdot R_a + R_2 \cdot R_a%7D \end%7Bgather*%7D

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Aufgabe 03-11:

Gegeben ist folgende Schaltung:

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