...

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges%7D= R_i +\frac%7BR_3\cdot (R_1+R_2%7D%7BR_1+R_2+R_3%7D= 5\Omega + \frac%7B20 \Omega%5e2%7D%7B12 \Omega%7D = 6,67 \Omega \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I%5e%7B'%7D = \frac%7BU_0%7D%7BR_%7Bges%7D%7D= \frac%7B10 \mathrm%7BV%7D%7D%7B6,67 \Omega%7D= 1,5 \mathrm%7BA%7D\\ \end%7Bgather*%7D

...

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_2 + (R_i%7C%7CR_3) = 5\Omega + \frac%7B10\Omega%5e2%7D%7B7 \Omega%7D= 6,43 \Omega \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_2%5e%7B''%7D= \frac%7BR_1%7D%7BR_1+6,43 \Omega%7D\cdot I_0 = \frac%7B5 \Omega%7D%7B5 \Omega + 6,43 \Omega%7D\cdot 2A = 0,87 A \\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I%5e%7B''%7D= \frac%7BR_3%7D%7BR_i+R_3%7D\cdot I_2%5e%7B''%7D= \frac%7B2 \Omega%7D%7B5 \Omega + 2 \Omega%7D\cdot 0,87 A = 0,25 A \\ \end%7Bgather*%7D

...

Nehmen Sie

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body R_1, R_2, R_3, I_0

und

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body U_q

als bekannt an.
Der linke Teil der Schaltung, bestehend aus den vier Komponenten

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body R_1, R_2, I_0

und

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body U_q

, wird im folgenden als Quelle betrachtet. Der Recht Teil, bestehend aus dem Schalter und R₃ wird als Verbraucher betrachtet.

Zunächst sei S geöffnet.

29.1 Berechnen Sie den Strom 

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body I_1

.
29.2 Bestimmen Sie eine Ersatzspannungsquelle (

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body U_0

, 

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body R_i

) bezüglich der Klemmen A und B.

Nun sei S geschlossen. 

29.3 Berechnen Sie den Strom 

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body I_3

 mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B. (Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den gesuchten Strom über die Knoten- und Maschengleichungen und prüfen Sie, ob dieser Strom identisch ist.)
29.4 Wie muss 

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body I_0

 gewählt werden, damit 

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body I_3=0

 wird?
29.5 Wie groß wird für 

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body R_3=0

 der Kurzschlußstrom 

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body I_{3K}

?
29.6 Geben Sie eine Ersatzstromquelle mit der Spannung 

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body U_0

 bezüglich der Klemmen A und B an, die ebenfalls eine Berechnung des Stromes 

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body I_3

 gestattet.
29.7 Bei welchem Wert für 

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body R_3

 ist die an 

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body R_3

 abgegebene Leistung maximal. Geben Sie 

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body R_3

 und 

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body P_{3max}

 an.

Lösung 9.1:

Überlagerungsverfahren: 

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B' %7D= \frac%7BU_q%7D%7BR_1+R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1%5e%7B''%7D= \frac%7BR_2%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot I_0\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_1 =I_1%5e%7B' %7D+I_1%5e%7B''%7D = \frac%7BU_q + R_2\cdot I_0%7D%7BR_1+R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.2:

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Die Berechnung des Innenwiderstandes

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body \(R_i\)

 erfolgt über Kurzschließen der Spannungquelle

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body \(U_0\)

und dem Öffnen der Stromquelle

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body \(I_0.\)

 Bezüglich der Klemmen A – B wird der Innenwiderstand 

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body --uriencoded--\( R_i = R_1 \, %7C%7C \, R_2. \)

Lösung 9.3:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = \frac%7BU_0%7D%7BR_i+R_3%7D= R_1\cdot\frac%7BU_q + R_2 \cdot I_0%7D%7BR_1 +R_2%7D\cdot \frac%7B1%7D%7B\frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1 +R_2%7D+ R_3%7D = \frac%7BR_1 \cdot (U_q + R_2 \cdot I_0)%7D%7BR_1 \cdot R_2 + R_2 \cdot R_3 + R_1 \cdot R_3%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Die Bestimmung über Knoten- und Maschengleichungen liefert exakt den gleichen Wert für

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body I_3

, erfodert aber eine höhere Anzahl an Rechenschritten. Wenn lediglich ein bestimmter Strom oder eine bestimmte Spannung gesucht ist, ist das Überlagerungsverfahren zielgerichteter, da nicht alle (ungesuchten) Ströme/Spannungen berechnet werden müssen, sondern zielgerichtet die gesuchte Größe ermittelt wird.

Lösung 9.4:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_3 = 0 \longrightarrow \cdot (U_q+R_2\cdot I_0) =0 \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_0 = - \frac%7BU_q%7D%7BR_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.5:

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_%7B3K%7D=\frac%7BU_0%7D%7BR_i%7D =\frac%7BR_1 \cdot (U_q + R_2 \cdot I_0)%7D%7BR_1+R_2%7D\cdot \frac%7BR_1+R_2%7D%7BR_1 \cdot R_2%7D= \frac%7B(U_q + R_2 \cdot I_0)%7D%7BR_2%7D= \frac%7BU_q%7D%7BR_2%7D+ I_0 \\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.6:

Wenn in der Übungsgruppe noch nicht besprochen:

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Hier:

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body \(I_0\)

 schon genutzt, deswegen 

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body \(I_q\)

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D I_q = \frac%7BU_0%7D%7BR_i%7D= I_%7B3K%7D\\ R_i = \frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1 + R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Lösung 9.7:

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Im äußeren Widerstand wird die maximale Leistung umgesetzt, wenn dieser dem Innenwiderstand entspricht.
Die Leistung am Widerstand ergibt sich aus Strom und Spannung an diesem Widerstand.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_3 = R_i = \frac%7BR_1\cdot R_2%7D%7BR_1 + R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_3 = U_%7B\mathrm R3%7D \cdot I_%7B\mathrm R3%7D=U_%7B\mathrm R3%7D%5e2 \cdot \frac%7B1%7D%7BR_3%7D=(\frac%7BR_3%7D%7BR_i+R_3%7D\cdot U_0 )%5e2 \cdot \frac%7B1%7D%7BR_3%7D= \frac%7BR_3%7D%7B(R_i+R_3)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 \\ \end%7Bgather*%7D

Nun wird für den Wert des äußeren Widerstand der Innenwiderstand eingesetzt und der Term vereinfacht.

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_%7B3max%7D:R_i = R_3 \end%7Bgather*%7D

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body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7DP_%7B3max%7D=\frac%7BR_3%7D%7B(R_3+R_3 )%5e2%7D\cdot U_0%5e2=\frac%7B(U_0%5e2)%7D%7B(4\cdot R_3 )%7D=\frac%7B1%7D%7B4%7D\cdot \frac%7B((R_1\cdot (U_q+R_2 \cdot I_0 ))%7D%7B(R_1+R_2 ))%7D%5e2\cdot \frac%7B(R_1+R_2)%7D%7B(R_1\cdot R_2 )%7D = \frac%7B1%7D%7B4%7D\cdot \frac%7BR_1\cdot (U_q + I_0 \cdot R_2)%5e2%7D%7BR_2 \cdot (R_1 +R_2)%7D \end%7Bgather*%7D

DC Schaltungen mit Entwurfsaufgaben

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