...
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D η =\frac%7BNutzen%7D%7BAufwand%7D = \frac%7Bin \hspace%7B1ex%7DR_a \hspace%7B1ex%7D umgesetzte\hspace%7B1ex%7DLeistung\hspace%7B1ex%7DP_a%7D%7B%7Cvon \hspace%7B1ex%7Dder\hspace%7B1ex%7D Quelle \hspace%7B1ex%7Dabgegebene\hspace%7B1ex%7D Leistung\hspace%7B1ex%7D P_0%7C%7D =\frac%7B0,73\mathrm%7BW%7D%7D%7B1,25\mathrm%7BW%7D%7D= 0,584 \equiv 58,4\%25\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Lösung 4.3:
Die Leistung
berechnet sich mit folgender Gleichung:| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a =\frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
.Diese wird maximal für:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e` =\frac%7BdP_a%7D%7Bdr_a%7D≝ 0\\ P_a%5e`` = \frac%7Bd%5e2P_a%7D%7BdR_a%5e2%7D<0 \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Produktregel:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--f(x)=u(x) . v(x)⟹f%5e%7B'%7D (x)=u%5e%7B'%7D (x) . v(x)+u(x) . v%5e%7B'%7D (x) |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B'%7D= \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 -2 \cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D = -2\cdot \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 -2\cdot \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7DU_0%5e2 + 6\cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e4%7D\cdot U_0%5e2 =-4\cdot\frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7DU_0%5e2+6\cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e4%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Extrema berechnen:
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B'%7D = 0 = \frac%7B1%7D%7B(R_i+R_a)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 -2 \cdot \frac%7BR_a%7D%7B(R_i+R_a)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 = 1 - 2 \cdot \frac%7BR_a%7D%7BR_i+R_a%7D \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i+R_a = 2\cdot R_a \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_i= R_a \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Maximum prüfen durch Einsetzen von
in | Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--P_a%5e%7B''%7D : |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D(R_a=R_i)=6\cdot \frac%7BR_i%7D%7B(2\cdot R_i)%5e4%7D\cdot U_0 %5e2 -4\cdot \frac%7B1%7D%7B(2\cdot R_i)%5e3%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D(R_a=R_i)=\frac%7B3%7D%7B8\cdot R_i%5e3%7D\cdot U_0%5e2-\frac%7B1%7D%7B2\cdot R_i%5e3%7D\cdot U_0%5e2 \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_a%5e%7B''%7D(R_a=R_i) = -\frac%7BU_0%5e2%7D%7B8\cdot R_i%5e3%7D\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Durch
| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--U_0%5e2>0 |
|---|
|
und wird | Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--P_a%5e%7B''%7D (R_a=R_i )<0 |
|---|
|
und damit das Maxima bewiesen:| Mathinline |
|---|
| body | --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D P_%7Ba,max%7D=\frac%7BR_i%7D%7B(2R_i)%5e2%7D\cdot U_0%5e2 = \frac%7BU_0%5e2%7D%7B4R_i%7D= \frac%7B(10\mathrm%7BV%7D)%5e2%7D%7B4.33\Omega%7D=0,76 \mathrm%7BW%7D\\ \end%7Bgather*%7D |
|---|
|
Ersatzspannungsquellen & DC-Netzwerke
...