DC Widerstandsnetzwerke

Aufgabe 03-1:

Gegeben sind die Widerstände:

Mathinline
body R_1=R_2=10\;\Omega \;;\;\;\;R_3=R_4=20\;\Omega \;;\;\;\;R_5=R_6=5\;\Omega \;;\;\;\; R_7 =15\; \Omega.

Aufgabe:

1.1  Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B.

Lösung 1.1:

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAB%7D = R_1 +(R_2 \, %7C%7C \, R_3)

Reihenwiderstände berechnen sich, in dem die beiden Einzelwiderstände addiert werden.

Parallelwiderstände berechnen sich, in dem die Kehrwerte der Einzelwiderstände addiert werden und anschließend der Kehrwert dieser Summe gebildet wird.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges,P%7D=\frac%7B1%7D%7B\left( \frac%7B1%7D%7BR_1%7D+\frac%7B1%7D%7BR_2%7D+....\right)%7D \end%7Bgather*%7D

Bei lediglich zwei parallelen Widerständen lässt sich die Formel vereinfacht folgendermaßen darstellen:

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather*%7D R_%7Bges,P%7D= \frac%7BR_1 \cdot R_2%7D%7BR_1+R_2%7D\\ \end%7Bgather*%7D

Hier wird nun zunächst der Ersatzwiderstand 

Mathinline
body --uriencoded--R_%7B23%7D

 aus 

Mathinline
body R_2

 und 

Mathinline
body R_3

  bestimmt und dann der Gesamtersatzwiderstand Rges aus 

Mathinline
body R_1

 und 

Mathinline
body --uriencoded--R_%7B23%7D

  bestimmt.

Mathinline
body --uriencoded-- \begin%7Bgather%7D R_%7B23%7D= \frac%7B10\Omega \cdot 20 \Omega%7D%7B10\Omega + 20 \Omega%7D = 6,67 \Omega\\ \end%7Bgather%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7Bges%7D= R_1 + (R_2%7C%7CR_3)=10\Omega + 6.67\Omega=16,67 \Omega\\ \end%7Bgather%7D

Aufgabe 1.2:

1.2  Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B, der Klemmen A und C und der Klemmen A und D.

Lösung 1.2 - AB:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAB%7D =R_4 \, %7C%7C \,R_5 \, %7C%7C \, (R_1 + R_3)

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7BAB%7D = \left( \frac%7B1%7D%7BR_1+R_3%7D+\frac%7B1%7D%7BR_4%7D+\frac%7B1%7D%7BR_5%7D\right)%5e%7B-1%7D = \left( \frac%7B1%7D%7B10\Omega+20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B5 \Omega%7D\right)%5e%7B-1%7D =3,53\Omega \end%7Bgather%7D

Lösung 1.2 - AC:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAC%7D =R_3 \, %7C%7C \,(R_1 +( R_4 \,%7C%7C \,R_5))

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7B145%7D=(R_4%7C%7CR_5)+R_1 = \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7BR_4%7D+\frac%7B1%7D%7BR_5%7D%7D+R_1 =\frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B5\Omega%7D%7D+10\Omega = 14\Omega\\ \end%7Bgather%7D

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7BAC%7D = \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7BR_3%7D+\frac%7B1%7D%7BR_%7B145%7D%7D%7D= \frac%7B1%7D%7B\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B14\Omega%7D%7D = 8,24\Omega \end%7Bgather%7D

Lösung 1.2 - AD:

Der Widerstand R2 ist für alle Betrachtungen überbrückt und entfällt daher in den Berechnungen.

Verschaltung erkennen:

Mathinline
body --uriencoded--R_%7BAB%7D =R_5 \, %7C%7C \,(R_3 +( R_1 \,%7C%7C \,R_4))

Zwischen den Klemmen B und D befindet sich kein Schaltelement, daher handelt es sich um die gleiche Position im Schaltbild wie zwischen den Klemmen A und B.

Mathinline
body --uriencoded--\begin%7Bgather%7D R_%7BAD%7D = R_%7BAB%7D = \left( \frac%7B1%7D%7BR_1+R_3%7D+\frac%7B1%7D%7BR_4%7D+\frac%7B1%7D%7BR_5%7D\right)%5e%7B-1%7D = \left( \frac%7B1%7D%7B10\Omega+20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B20\Omega%7D+\frac%7B1%7D%7B5 \Omega%7D\right)%5e%7B-1%7D =3,53\Omega \end%7Bgather%7D

Aufgabe 1.3:

1.3   Berechnen Sie den Ersatzwiderstand bezüglich der Klemmen A und B und der Klemmen C und D.

Aufgabe 03-2:

Es ist die untenstehende Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

Mathinline
body U_0=6\;V;\;\;\;\;\;\; R_1 =390\;\Omega ;\;\;\;\;R_2=470\;\Omega;\;\;\; R_3=220\; \Omega.

2.1 Berechnen Sie den Ersatzwiderstand

Mathinline
body R

 der Schaltung (von der Quelle 

Mathinline
body U_0

 aus gesehen).
2.2 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_1

.

Die folgenden Teilaufgaben können Sie entweder mit Hilfe der Spannungs- / Stromteilerregel oder mit Hilfe des ohmschen Gesetzes lösen:
2.3 Berechnen Sie die Spannungen 

Mathinline
body U_1

 und 

Mathinline
body U_2

.
2.4 Berechnen Sie die Ströme 

Mathinline
body I_2

 und 

Mathinline
body I_3

.
2.5 Erklären Sie mit Ihren eigenen Worten, warum sich die Spannungen

Mathinline
body U_1

 und 

Mathinline
body U_2

und die Ströme

Mathinline
body I_2

 und 

Mathinline
body I_3

wie berechnet verhalten.

DC Widerstandsnetzwerke und Leistungsabgabe

Aufgabe 03-3:

Es ist die untenstehende Spannungsteiler-Schaltung mit folgenden Werten gegeben:

Mathinline
body U_0=24\;V;\;\;\;\;\;\; R_1 =3,3\;k\Omega ;\;\;\;\;R_2=4,7\;k\Omega.

3.1 Berechnen Sie die an den beiden Widerständen abfallenden Spannungen 

Mathinline
body U_1

 und 

Mathinline
body U_2

.
3.2 Welcher Strom 

Mathinline
body I

 fließt durch die beiden Widerstände?
3.3 Welche Leistungen 

Mathinline
body P_1

 und 

Mathinline
body P_2

 nehmen die beiden Widerstände auf? Wie groß ist die Leistung

Mathinline
body P_\mathrm Q

der Quelle?

Aufgabe 03-4:

Es ist die untenstehende Schaltung zur Versorgung eines Verbrauchers 

Mathinline
body R_a

 aus einer Quelle 

Mathinline
body U_0,R_i

) mit folgenden Werten gegeben:

Mathinline
body U_0=10\;V;\;\;\;\;\;\; R_i =33\;\Omega ;\;\;\;\;R_a=47\;\Omega.

4.1 Berechnen Sie die von der Spannungsquelle 

Mathinline
body U_0

 abgegebene Leistung 

Mathinline
body P_0

, die im Verbraucher (

Mathinline
body R_a

) umgesetzte Leistung 

Mathinline
body P_a

 und die im Innenwiderstand 

Mathinline
body R_i

 umgesetzte Leistung 

Mathinline
body P_i

.
4.2 Ermitteln Sie den Wirkungsgrad 

Mathinline
body \eta

 der Leistungsabgabe.
4.3 Leiten Sie her, welchen Wert

Mathinline
body R_a

 haben muss, damit in ihm die maximal abgebbare Leistung 

Mathinline
body P_{a,max}

 umgesetzt wird? Wie hoch ist diese Leistung?
(Hinweis: Bedenken Sie hierbei die mathematischen Grundlagen für ein Maximum, d.h. finden Sie eine Funktion für die Leistung, die nur von konstanten Werten und dem gesuchten (variablen) Widerstand

Mathinline
body R_a

abhängt.).

Ersatzspannungsquellen & DC-Netzwerke

Aufgabe 03-5:

Gegeben ist das gezeichnete Netzwerk mit der Spannung U und den Widerständen 

Mathinline
body R_1, R_2

und

Mathinline
body R_3

.

5.1 Bestimmen Sie die Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2.
5.2 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_{3K}

 bei Kurzschluß der Klemmen 1 und 2 (durch 

Mathinline
body R_3

) für die ursprüngliche Schaltung durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln. Vergleichen Sie mit dem Strom 

Mathinline
body I_k

, der sich bei Kurzschluß der Ersatzspannungsquelle ergibt.
5.3 Geben Sie die Ersatzstromquelle bezüglich der Klemmen 1 und 2 an. 

Aufgabe 03-6:

Gegeben ist die folgende Schaltung mit den Werten:

Mathinline
body U=80\;V;\;\;\;\;\;\; R_1=R_2=R_3 =300\;\Omega ;\;\;\;\;R_4=400\;\Omega

6.1 Geben Sie für die gezeichnete Schaltung bezüglich der Klemmen 1 und 2 die Ersatzspannungsquelle mit Innenwiderstand an.
6.2 Welchen Wert muss ein an den Klemmen 1 und 2 angeschlossener Widerstand 

Mathinline
body R_a

 besitzen, damit die in ihm umgesetzte Leistung maximal ist?

Zusatzaufgabe:

6.3 Wie groß ist im Fall 1.2 der Wirkungsgrad der Anordnung, wenn als Nutzleistung die im Außenwiderstand 

Mathinline
body R_a

 umgesetzte Leistung anzusehen ist (nicht vom Ersatzschaltbild ausgehen!)? Wie groß wäre der Wirkungsgrad, wenn Sie vom Ersatzschaltbild ausgehen würden?

Aufgabe 03-7:

Gegeben ist das folgende Netzwerk.

Es sind die folgenden Werte bekannt:

Mathinline
body I_{01}=2,4\;A;\;\;\;U_{02}=25\;V;\; \;\;U_{03}=23\;V;\;\;\; R_1 =R_2=10\;\Omega ;\;\;\;\;R_3=1\;\Omega;\;\;\; R_4=2,5\; \Omega.

7.1 Bestimmen Sie die Spannung 

Mathinline
body U_{AB}

 durch direkte Anwendung der Kirchhoffschen Sätze (Knoten- und Maschenregel). Stellen Sie hierzu das erforderliche lineare Gleichungssystem auf. (Die Lösung dieses LGS ist aufwändig.)

Superpositionsprinzpien

Aufgabe 03-8:

Gegeben sind: 

Mathinline
body I_0=2\;A;\;\;\;\;\;\; U_0=10\;V;\;\;\;\;R_1=5\;\Omega;\;\;\;\;R_2=5\;\Omega;\;\;\;\;R_3=2\;\Omega;\;\;\;\;R_i=5\;\Omega.\;\;\;\;

Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I

 mit Hilfe des Überlagerungsverfahrens.

Aufgabe 03-9:

Gegeben ist folgende Schaltung:

Nehmen Sie

Mathinline
body R_1, R_2, R_3, I_0

und

Mathinline
body U_q

als bekannt an.
Der linke Teil der Schaltung, bestehend aus den vier Komponenten

Mathinline
body R_1, R_2, I_0

und

Mathinline
body U_q

, wird im folgenden als Quelle betrachtet. Der Recht Teil, bestehend aus dem Schalter und R₃ wird als Verbraucher betrachtet.

Zunächst sei S geöffnet.

2.1 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_1

.
2.2 Bestimmen Sie eine Ersatzspannungsquelle (

Mathinline
body U_0

, 

Mathinline
body R_i

) bezüglich der Klemmen A und B.

Nun sei S geschlossen. 

2.3 Berechnen Sie den Strom 

Mathinline
body I_3

 mit Hilfe der Ersatzspannungsquelle bezüglich der Klemmen A und B. (Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie den gesuchten Strom über die Knoten- und Maschengleichungen und prüfen Sie, ob dieser Strom identisch ist.)
2.4 Wie muss 

Mathinline
body I_0

 gewählt werden, damit 

Mathinline
body I_3=0

 wird?
2.5 Wie groß wird für 

Mathinline
body R_3=0

 der Kurzschlußstrom 

Mathinline
body I_{3K}

?
2.6 Geben Sie eine Ersatzstromquelle mit der Spannung 

Mathinline
body U_0

 bezüglich der Klemmen A und B an, die ebenfalls eine Berechnung des Stromes 

Mathinline
body I_3

 gestattet.
2.7 Bei welchem Wert für 

Mathinline
body R_3

 ist die an 

Mathinline
body R_3

 abgegebene Leistung maximal. Geben Sie 

Mathinline
body R_3

 und 

Mathinline
body P_{3max}

 an.

DC Schaltungen mit Entwurfsaufgaben

Aufgabe 03-10:

Zwei Spannungsquellen mit den konstanten Spannungen 

Mathinline
body U_1

 und 

Mathinline
body U_2

 und den Innenwiderständen 

Mathinline
body R_1

 und 

Mathinline
body R_2

 sind parallel geschaltet.

10.1 Berechnen Sie mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze (Knoten- und Maschenregel) die drei Ströme 

Mathinline
body I_1

 , 

Mathinline
body I_2

 und 

Mathinline
body I_a

 sowie die Spannung an

Mathinline
body R_a

. Es gilt:

Mathinline
body R_a =R_1=R_2=1 \; \Omega

und

Mathinline
body U_1=U_2=2 V

.
10.2 Zeigen Sie, dass man mit Hilfe des Überlagerungssatzes die gleichen Wert für die drei Ströme erhält, wie unter 1.1. (

Mathinline
body R_a =R_1=R_2=1

 Ω und

Mathinline
body U_1=U_2=2 V

)
10.3 Wandeln Sie die Schaltung aus 

Mathinline
body U_1

, 

Mathinline
body R_1

, 

Mathinline
body U_2

 und 

Mathinline
body R_2

 in eine äquivalente Ersatzquelle der Klemmen A  und B um und berechnen Sie dann den Strom 

Mathinline
body I_a

.
10.4 Welcher Bedingung müssen die beiden Spannungsquellen genügen, damit kein Strom durch den Widerstand 

Mathinline
body R_a

 fließt?

Aufgabe 03-11:

Gegeben ist folgende Schaltung:

Zahlenwerte:   

Mathinline
body --uriencoded--U_%7Bq1%7D=10\;V;\;\;\;\;\;\;\;\;I_0=3\;A;\;\;\;\;\;\;\;\; R_1=15\;\Omega;\;\;\;\;\;\;\;\;R_2=5\;\Omega.

11.1 Bestimmen Sie den Innenwiderstand 

Mathinline
body R_i

 des Netzwerkes bezüglich der Klemmen A und B.
11.2 Bestimmen Sie die Leerlaufspannung 

Mathinline
body U_0

 des Netzwerks mit den beiden Quellen bezüglich der Klemmen A und B.
11.3 Der Belastungswiderstand 

Mathinline
body R_B

 sei zwischen 

Mathinline
body 1\;\Omega

 und 

Mathinline
body 10\;\Omega

 veränderlich. Auf welchen Wert muss er eingestellt werden, damit in ihm die maximale Leistung umgesetzt wird? 

Es sei nun 

Mathinline
body R_B=0

 (Kurzschluss).

11.4 Bestimmen Sie die Einzelleistungen der beiden Quellen. Geben Sie an, ob die Quellen Leistungen aufnehmen oder abgeben