9.1 Voraussetzungen

Es wird wie üblich angenommen, dass das Luftspaltfeld sinusförmig ist, dass keine Sättigung vor-kommt und dass es keine Eisenverluste gibt. Die folgenden Verfahren ermöglichen es, beliebige dynamische Vorgänge zu berechnen, also insbesondere Anlaufvorgänge und Ausgleichsvorgänge bei einer Änderung der Belastung oder Änderung der Netzspannung. Die Netzspannung und die Ströme brauchen nicht sinusförmig zu sein, es wird lediglich vorausgesetzt, dass die Summe der Ströme in den 

Strängen der Maschine immer 

ist. Bei Maschinen, deren Stränge im 

geschaltet sind, ist das immer gegeben. (Bei Dreiecksschaltung ist das nicht zwangsläufig der Fall, aber durch den Aufbau der Wicklung wird immer erreicht, dass ein gegebenenfalls verbleibender Summenstrom keine Auswirkungen hat.)

Alle Gleichungen können auch in normierter Form angegeben werden.

9.2 Idee der Berechnungsweise

Für Ausgleichsvorgänge reicht es nicht aus, Rechnungen mit einem einphasigen Ersatzschaltbild durchzuführen, es sei denn, die untersuchten mechanischen Vorgänge verlaufen sehr viel langsamer als die magnetischen Vorgänge in der Maschinen. Deshalb müssen die Gleichungen für alle Stränge der Maschine aufgestellt werden, wobei es intensive Kopplungen zwischen den Strängen und zwischen den Strängen und den Wicklungen des Rotors gibt.

Der Rotor einer Synchronmaschinen ist immer unsymmetrisch und die Erregerwicklung wirkt immer nur in einer Achse. Aus Sicht einer Statorspule ändert sich also der magnetische Widerstand des Eisenkreises zweimal pro Rotordrehung. Deshalb sind die Gleichungen aus Sicht des Stators recht verwickelt. Daraus resultiert nun die Idee, die Gleichungen für ein Koordinatensystem auf-zustellen, dessen eine Achse in jedem betrachteten Zeitpunkt in die Richtung des Erregerfeldes zeigt und dessen zweite Achse senkrecht dazu verläuft. Da dieses neue Koordinatensystem für jeden betrachteten Zeitpunkt neu auf die momentane Lage des Rotors eingestellt wird, ist die Asymmetrie des Rotors nicht mehr zeitlich veränderlich. Es zeigt sich, dass dadurch alle Gleichungen erheblich vereinfacht werden. Zusätzlich hat eine Beschreibung in diesem Koordinatensystem den Vorteil, dass im stationären Betrieb keine zeitlich veränderlichen Größen mehr auftreten; die gleichmäßige Rotation des Rotors und des Feldes ist in dem gewählten Bezugssystem nicht mehr vorhanden. Die Transformation aller Größen in dieses besondere Koordinatensystem wird Park'sche Transformation genannt, die resultierenden Gleichungen zur Beschreibung der Synchronmaschine werden Park'sche Gleichungen genannt. Von verschiedenen früheren Ansätzen der beschriebenen Art hat sich die Vorgehensweise von Park als besonders vorteilhaft erwiesen.

Da Asynchronmaschinen einen symmetrischen Läufer haben und der Läufer auch nicht synchron mit dem Drehfeld umläuft, bietet hier die Park'sche Transformation zunächst keinen offensichtlichen Vorteil. Bei numerischen Rechnungen (Simulationen) kann durch die Anwendung der Park'schen Transformation jedoch eine erhebliche Rechenzeitverkürzung erreicht werden, da ja nur noch Vorgänge im Bereich der Schlupffrequenz berechnet werden müssen während die netzfrequenten Vorgänge durch die Transformation nicht mehr vorhanden sind.

9.3  1. Schritt: Transformation auf ein 2-phasiges a-b-System

Das Drehfeld in der Maschine wird durch 

Stränge erzeugt:

also

Da die 

Stränge gleichartig aufgebaut sind und die Summe der Ströme gleich 

ist, ist das Feld bereits durch 

der Ströme eindeutig bestimmt. Man kann deshalb für diese Bedingungen jedes beliebige Feld in der Maschine alleine auch durch 

geeignet aufgebaute Stränge erzeugen. Zweckmäßig sind 

Stränge 

und

, die um 

gegeneinander versetzt sind. Willkürlich wird der Strang a in die gleiche Richtung gelegt wie der Strang

:

Man kann einfach nachrechnen, dass mit

,

nach folgender Gleichung die Felder des

-strängigen Systems und des

-stränginge Systems identisch sind:

oder in Umkehrung

In Matrizenform ist das kürzer:

Die Matrix 

ist so normiert, dass 

ist. Die Nullkomponente muss natürlich immer 

sein, sie ist hier nur der Vollständigkeit halber mit aufgenommen, mit dem Vorteil, dass die Transformationsmatrix quadratisch ist.

Da 

über das Durchflutungsgesetz unmittelbar mit 

  verbunden ist und über das Induktionsgesetz unmittelbar mit

, gelten für die Ströme und Spannungen entsprechende Transformationen mit der gleichen oben angegebenen Matrix

:

Die Faktoren 

und 

sind frei wählbar, 

ist nur von Bedeutung, wenn die Feldgrößen in der Maschine berechnet werden sollen und wird im Folgenden nicht weiter berücksichtigt. Für die Wahl von 

und 

gibt es folgende günstige Alternativen:

Die Ströme und Spannungen in beiden Systemen sind in folgenden Sinn gleich:

(

, bzw. 

wie oben dargestellt). Die "Länge der Vektoren" 

und 

sind also gleich.
Für den typischen Fall einer symmetrischen Anlage sind die Impedanzen der

Maschine gleich den Impedanzen der

Maschine, müssen also nicht umgerechnet werden:

Außerdem ist wegen

die Transformation leistungsinvariant und somit ist auch das Drehmoment beider Maschinen gleich.

Die Impedanzen bleiben wie bei a) unmittelbar übertragbar. Außerdem ist aber auch (bei 

und

) vorteilhaft

Demgegenüber steht der Nachteil, dass für Leistungen und Drehmomente gilt:

und entsprechend für das Drehmoment. Je nach zu untersuchender Fragestellung kann a) oder b) oder auch eine andere Wahl zweckmäßig sein.

9.4 Besonderheiten bei der Rechnung in normierten Größen

Oft werden Ströme und Spannungen auf Normierungsgrößen bezogen:

Für die Leistung ist die Scheinleistung der gesamten Maschine als Normierungsgröße üblich:

Im Normpunkt ist dann

.

Da die Strangzahl in der Normierungsgröße enthalten ist, ist

Mit Bezug des Drehmomentes auf die synchrone mechanische Drehzahl ist

Bei dem Übergang von dem

System in das abo-System gibt es nun zwei Möglichkeiten:

Die Normierungsgrößen werden nicht transformiert: Dann sind alle Gleichungen (z. B. Gleichung einfach um die Normierungsgrößen erweitert. Als Nachteil ist anzusehen, dass im Normpunkt die Größen in abo-System nicht 1 sein müssen (abhängig von den gewählten

).

Es werden neue Normierungsgrößen für das abo-System festgelegt, sodass für den Normpunkt wieder

ist. (Das gilt nur für

, die Komponenten „

" sind immer null.)

9.5 2. Schritt: Transformation von a-b in ein verdrehtes x-y-System

Die

Maschine wird in einem 2. Schritt durch eine x-y-Maschine ersetzt. Die Stränge 

und 

stehen senkrecht aufeinander und 

ist gegen 

um einen Winkel 

verdreht. (Der Übersichtlichkeit halber wird hier nur der Fall der Polpaarzahl 

betrachtet.)

Mit folgender Umrechnung ist das durch x-y erzeugte Feld ist identisch dem durch a-b erzeugten Feld:

Oder wieder kürzer in Matrizenform:

Wie oben ist

Für die Ströme und Spannungen gilt entsprechendes:

Da sich bei dem Übergang von 

auf 

die Anzahl der Stränge nicht geändert hat, sonders es sich um eine reine Drehung handelt, sind die Widerstände und Leistungen unverändert.

9.6 3. Schritt: Die Gleichungen der Synchronmaschine

Folgende Spulen werden berücksichtigt: