9.1 Voraussetzungen

Es wird wie üblich angenommen, dass das Luftspaltfeld sinusförmig ist, dass keine Sättigung vor-kommt und dass es keine Eisenverluste gibt. Die folgenden Verfahren ermöglichen es, beliebige dynamische Vorgänge zu berechnen, also insbesondere Anlaufvorgänge und Ausgleichsvorgänge bei einer Änderung der Belastung oder Änderung der Netzspannung. Die Netzspannung und die Ströme brauchen nicht sinusförmig zu sein, es wird lediglich vorausgesetzt, dass die Summe der Ströme in den Loading Strängen der Maschine immer Loading ist. Bei Maschinen, deren Stränge im Loading geschaltet sind, ist das immer gegeben. (Bei Dreiecksschaltung ist das nicht zwangsläufig der Fall, aber durch den Aufbau der Wicklung wird immer erreicht, dass ein gegebenenfalls verbleibender Summenstrom keine Auswirkungen hat.)

Alle Gleichungen können auch in normierter Form angegeben werden.

9.2 Idee der Berechnungsweise

Für Ausgleichsvorgänge reicht es nicht aus, Rechnungen mit einem einphasigen Ersatzschaltbild durchzuführen, es sei denn, die untersuchten mechanischen Vorgänge verlaufen sehr viel langsamer als die magnetischen Vorgänge in der Maschinen. Deshalb müssen die Gleichungen für alle Stränge der Maschine aufgestellt werden, wobei es intensive Kopplungen zwischen den Strängen und zwischen den Strängen und den Wicklungen des Rotors gibt.

Der Rotor einer Synchronmaschinen ist immer unsymmetrisch und die Erregerwicklung wirkt immer nur in einer Achse. Aus Sicht einer Statorspule ändert sich also der magnetische Widerstand des Eisenkreises zweimal pro Rotordrehung. Deshalb sind die Gleichungen aus Sicht des Stators recht verwickelt. Daraus resultiert nun die Idee, die Gleichungen für ein Koordinatensystem auf-zustellen, dessen eine Achse in jedem betrachteten Zeitpunkt in die Richtung des Erregerfeldes zeigt und dessen zweite Achse senkrecht dazu verläuft. Da dieses neue Koordinatensystem für jeden betrachteten Zeitpunkt neu auf die momentane Lage des Rotors eingestellt wird, ist die Asymmetrie des Rotors nicht mehr zeitlich veränderlich. Es zeigt sich, dass dadurch alle Gleichungen erheblich vereinfacht werden. Zusätzlich hat eine Beschreibung in diesem Koordinatensystem den Vorteil, dass im stationären Betrieb keine zeitlich veränderlichen Größen mehr auftreten; die gleichmäßige Rotation des Rotors und des Feldes ist in dem gewählten Bezugssystem nicht mehr vorhanden. Die Transformation aller Größen in dieses besondere Koordinatensystem wird Park'sche Transformation genannt, die resultierenden Gleichungen zur Beschreibung der Synchronmaschine werden Park'sche Gleichungen genannt. Von verschiedenen früheren Ansätzen der beschriebenen Art hat sich die Vorgehensweise von Park als besonders vorteilhaft erwiesen.

Da Asynchronmaschinen einen symmetrischen Läufer haben und der Läufer auch nicht synchron mit dem Drehfeld umläuft, bietet hier die Park'sche Transformation zunächst keinen offensichtlichen Vorteil. Bei numerischen Rechnungen (Simulationen) kann durch die Anwendung der Park'schen Transformation jedoch eine erhebliche Rechenzeitverkürzung erreicht werden, da ja nur noch Vorgänge im Bereich der Schlupffrequenz berechnet werden müssen während die netzfrequenten Vorgänge durch die Transformation nicht mehr vorhanden sind.

9.3  1. Schritt: Transformation auf ein 2-phasiges a-b-System

Das Drehfeld in der Maschine wird durch Loading Stränge erzeugt:

also

Loading

Da die Loading Stränge gleichartig aufgebaut sind und die Summe der Ströme gleich Loading ist, ist das Feld bereits durch Loading der Ströme eindeutig bestimmt. Man kann deshalb für diese Bedingungen jedes beliebige Feld in der Maschine alleine auch durch Loading geeignet aufgebaute Stränge erzeugen. Zweckmäßig sind Loading Stränge Loading und Loading , die um Loading gegeneinander versetzt sind. Willkürlich wird der Strang a in die gleiche Richtung gelegt wie der Strang Loading :

Man kann einfach nachrechnen, dass mit Loading , Loading nach folgender Gleichung die Felder des Loading -strängigen Systems und des Loading -stränginge Systems identisch sind:

oder in Umkehrung

In Matrizenform ist das kürzer:

Die Matrix Loading ist so normiert, dass Loading ist. Die Nullkomponente muss natürlich immer Loading sein, sie ist hier nur der Vollständigkeit halber mit aufgenommen, mit dem Vorteil, dass die Transformationsmatrix quadratisch ist.

Da Loading über das Durchflutungsgesetz unmittelbar mit Loading   verbunden ist und über das Induktionsgesetz unmittelbar mit Loading , gelten für die Ströme und Spannungen entsprechende Transformationen mit der gleichen oben angegebenen Matrix Loading :

Die Faktoren Loading und Loading sind frei wählbar, Loading ist nur von Bedeutung, wenn die Feldgrößen in der Maschine berechnet werden sollen und wird im Folgenden nicht weiter berücksichtigt. Für die Wahl von Loading und Loading gibt es folgende günstige Alternativen:

Die Ströme und Spannungen in beiden Systemen sind in folgenden Sinn gleich:

(Loading , bzw. Loading wie oben dargestellt). Die "Länge der Vektoren" Loading und Loading sind also gleich.
Für den typischen Fall einer symmetrischen Anlage sind die Impedanzen der Loading Maschine gleich den Impedanzen der Loading Maschine, müssen also nicht umgerechnet werden:

Außerdem ist wegen

die Transformation leistungsinvariant und somit ist auch das Drehmoment beider Maschinen gleich.

Die Impedanzen bleiben wie bei a) unmittelbar übertragbar. Außerdem ist aber auch (bei Loading und Loading ) vorteilhaft

Demgegenüber steht der Nachteil, dass für Leistungen und Drehmomente gilt:
Loading
und entsprechend für das Drehmoment. Je nach zu untersuchender Fragestellung kann a) oder b) oder auch eine andere Wahl zweckmäßig sein.

9.4 Besonderheiten bei der Rechnung in normierten Größen

Oft werden Ströme und Spannungen auf Normierungsgrößen bezogen:

Loading

Für die Leistung ist die Scheinleistung der gesamten Maschine als Normierungsgröße üblich:

Loading

Im Normpunkt ist dann Loading .

Da die Strangzahl in der Normierungsgröße enthalten ist, ist

Loading

Mit Bezug des Drehmomentes auf die synchrone mechanische Drehzahl ist

Loading

Bei dem Übergang von dem Loading System in das abo-System gibt es nun zwei Möglichkeiten:

Die Normierungsgrößen werden nicht transformiert: Dann sind alle Gleichungen (z. B. Gleichung einfach um die Normierungsgrößen erweitert. Als Nachteil ist anzusehen, dass im Normpunkt die Größen in abo-System nicht 1 sein müssen (abhängig von den gewählten Loading ).

Es werden neue Normierungsgrößen für das abo-System festgelegt, sodass für den Normpunkt wieder Loading ist. (Das gilt nur für Loading , die Komponenten „Loading " sind immer null.)

9.5 2. Schritt: Transformation von a-b in ein verdrehtes x-y-System

Die Loading Maschine wird in einem 2. Schritt durch eine x-y-Maschine ersetzt. Die Stränge Loading und Loading stehen senkrecht aufeinander und Loading ist gegen Loading um einen Winkel Loading verdreht. (Der Übersichtlichkeit halber wird hier nur der Fall der Polpaarzahl Loading betrachtet.)

Mit folgender Umrechnung ist das durch x-y erzeugte Feld ist identisch dem durch a-b erzeugten Feld:

Oder wieder kürzer in Matrizenform:

Loading

Wie oben ist Loading

Für die Ströme und Spannungen gilt entsprechendes:

Loading

Da sich bei dem Übergang von Loading auf Loading die Anzahl der Stränge nicht geändert hat, sonders es sich um eine reine Drehung handelt, sind die Widerstände und Leistungen unverändert.

9.6 3. Schritt: Die Gleichungen der Synchronmaschine

Folgende Spulen werden berücksichtigt:

Loading wird so gewählt, das der Strang Loading für den betrachteten Augenblick mit der Längsachse des Rotors (die Achse des Erregerfeldes) zusammen fällt, Loading senkrecht dazu steht, es wird dann Loading statt Loading . benutzt. (Abbildung 9.1)

Loading -Achse: Längsachse (direct axis)

Loading -Achse: Querachse

Abbildung 9.1: Koordinaten nach Park für die Synchronmaschine

Alle Wicklungen haben einen ohmschen Widerstand und eine Induktivität. Die induzierten Spannungen z. B. für die Spule Loading ergibt sich aus der Änderung des magnetischen Flusses Loading in der Spule Loading (Loading wird gewöhnlich für einen Fluss verwendet, der mit einer Spule verkettet ist, Loading für einen Fluss in einem Kern; hier wird beides synonym verwendet):

Loading

Dabei muss berücksichtigt werden, dass die Transformation Loading keine Auswirkung auf das Induktionsgesetz hat. Die Spannung Loading ist an einem Spulenpaar messbar, dass gegenüber Loading um den Winkel Loading verdreht ist, aber im Stator ruhend ist. Deshalb setzt sich die gesamte Flussänderung aus Loading Anteilen zusammen: Zum einen bewirkt jede Stromänderung in einer der Spulen Loading , Loading und Loading (wie bei einem Transformator) eine Flussänderung und induziert eine Spannung, die an der rotierenden Spule gemessen werden könnte:

Loading

Zum Anderen bewirkt in der ruhenden Spule die Drehung des Feldes eine zusätzliche Flussänderung. Ein im Betrachtungszeitpunkt vorhandener Fluss in Querrichtung Loading würde mit fortschreitender Drehung Loading des Rotors - da die Loading -Spule feststeht - in der Spule Loading einen Fluss in der Art

Loading

erzeugen. Die resultierende Flussänderung ist somit (ohne Berücksichtigung der Windungszahlen)

Loading

(Die Änderung des Flusses Loading erzeugt keine Spannung, weil _Loading in dem Betrachtungszeitpunkt senkrecht zur Loading -Achse steht und somit nicht mit Spule Loading verkoppelt ist.) Der mit dem Stator verbundene Fluss Loading ergibt sich aus den Induktivitäten und Gegeninduktivitäten:

Loading

Somit ist die insgesamt in der Spule d induzierte Spannung:

Loading

Entsprechend wird für die übrigen Spulen verfahren und unter Berücksichtigung der ohmschen Widerstände ergibt sich schließlich folgendes Gleichungssystem:

Die Vorzeichen sind dabei so gewählt, dass im stationären Motorbetrieb alle Ströme und Spannungen positiv sind. (Verbraucherzählpfeilsystem).

Für praktische Rechnungen ist es sehr vorteilhaft, dass die Matrix der Induktivitäten konstant ist, sodass sie nur einmalig aufgestellt und invertiert werden muss, um dann die Ableitungen der Ströme ausrechnen zu können.

Das Drehmoment kann aus der Leistung ermittelt werden, die aus der durch die Drehung mit Loading erzeugten Spannung bewirkt wird, also entnimmt man der rechten Seite des Gleichungssystems:

(Dies ist das Moment der Loading -poligen Loading Maschine; die Umrechnung auf die reale Loading Maschine erfolgt mit den oben angegebenen Faktoren unter Berücksichtigung der Polpaarzahl.)

9.7 Anwendung auf die Asynchronmaschine

Es entfällt die Erregerwicklung und die Maschine ist vollständig symmetrisch. Da der Läufer nicht synchron rotiert, sind verschiedene Alternativen für die Wahl von Loading üblich. Bei beliebiger Wahl des Loading Systems wird in Analogie zu Loading der Winkel Loading als der Winkel zwischen einem Bezugspunkt des Rotors und der Loading Achse definiert. Der mechanische Drehwinkel des Rotors ist: Loading Index Loading bezeichnet alle Größen des Ständers und Loading   alle Größen des Läufers. Aus dem System (9.14) wird dann:

Entsprechend ergibt sich für das Drehmoment

Die Flüsse sind:

Entsprechend kann das Drehmoment auch durch die Flüsse ausgedrückt werden:

Besonders übersichtlich werden die Zusammengänge, wenn man Loading so wählt, das Loading in Richtung des Läuferflusses liegt, dass also Loading ist.

Dann gilt:

Ermittelt man aus den letzten beiden Gleichungen aus (9.16) die Größen Loading und Loading als Funktionen der Flussverkettungen und deren Ableitungen und setzt man diese in für Loading ein, dann folgt::

Gleichung (9.21) entspricht der einer fremderregten Gleichstrommaschine: Loading erzeugt nach Gleichung (9.22) ein Feld und Loading entspricht dem Ankerstrom. Diese Transformation wird heute zur Regelung von Frequenzumrichtern eingesetzt (feldorientierte Regelung, Vektorregelung).

Gelegentlich ist es übersichtlicher, wenn statt mit den Strömen mit den Flussverkettungen gerechnet wird:

Das Drehmoment kann ebenfalls durch die Flüsse ausgedrückt werden: