3.1 Elektrische Feldstärke, Spannung

Zwei elektrische Ladungen Loading und Loading ziehen sich an, wenn sie unterschiedliches Vorzeichen haben und stoßen sich ab, wenn sie gleiches Vorzeichen haben.
                                                         
                                                         Abbildung 3.1: Kräfte zwischen zwei Punkladungen

Die Kraft zwischen zwei punktförmigen Ladungen hängt von den Größen der Ladungen, deren Abstand voneinander und einer Konstanten in folgender Weise ab (Coulomb'sches Gesetz):

Praktisch ist die Modellvorstellung, dass z. B. die Ladung Loading die Eigenschaft des Raumes um sich herum verändert. Diese Eigenschaft des Raumes wird als elektrisches Feld Loading bezeichnet. Dieses Feld übt dann eine Kraft auf eine andere elektrische Ladung Loading im Raum aus. Diese Betrachtung hat den Vorteil, dass die Erzeugung des Feldes und die resultierende Kraftwirkung als getrennt Vorgänge betrachtet werden und somit auch getrennt berechnet werden können. Da die Kraft eine gerichtete Größe ist, wird sie zweckmäßig als Vektor geschrieben. Damit ist deutlich, dass dann auch die elektrische Feldstärke eine gerichtete Größe sein muss, also:

Für den Fall, dass das Feld von einer punktförmigen Ladung Loading verursacht ist, ist die Kraft auf Loading immer in Richtung der Geraden Loading   oder (je nach Vorzeichen) entgegengesetzt. Nimmt man Loading   als den Ursprung eines dreidimensionalen Koordinatensystems, beschreibt die Position von Loading durch einen Vektor Loading (von Loading nach Loading ), so wird durch Erweiterung der Gleichung (3.1) auch die Richtung des Feldes beschrieben:

Abbildung 3.2: Von einer Punktladung Q erzeugtes Feld und resultierende Kraft

Experimentelle Untersuchungen haben ergeben, dass Loading abhängig vom Material ist, das den betrachteten Raum auffüllt. Es hat sich als praktisch erwiesen, Loading in anderer Form darzustellen:

Man bezeichnet Loading   als Dielektrizitätskonstante (auch Permittivität). Loading  ist die relative Dielektrizitätskonstante, die angibt, um welchen Faktor Loading größer ist als für das Vakuum.

Loading ist die Dielektrizitätskonstante des Vakuums.  Man findet:

Loading          Vakuum, Gase

Loading   Isoliermaterialien

Loading       Wasser

Die Abspaltung des Faktors Loading ist gemacht, weil damit im Nenner mit Loading die Oberfläche A der Kugel um Loading mit Radius r steht. Ein Quotient Loading kommt auch für andere geometrische Anordnungen vor und man hat eine Vereinheitlichung erreicht. Für die Kugel gilt also:

Bewegt sich eine kleine punktförmige Probeladung Loading auf Grund der abstoßenden Kraft   Loading von dem Punkt Loading auf der Kugel mit dem Radius Loading   zu dem auf dem gleichen Radiusvektor gelegenen Punkt Loading auf der Kugel mit dem Radius Loading , so wird an der Probeladung Loading eine Arbeit Loading geleistet:

Im Allgemeinen muss der Weg nicht in Richtung Loading verlaufen. Es trägt dann nur der Anteil der Kraft in Richtung des Weges zur Arbeit bei. Der Anteil der Kraft senkrecht zum Weg trägt nicht zur Arbeit bei. (Analogie im Schwerfeld: Eine horizontale Verschiebung (ohne Reibung) einer Masse erfordert keine Arbeit, nur das Anheben erfordert Arbeit.)

 
Abbildung 3.3: Nur die Kraft in Richtung ds trägt zur Arbeit bei.

Es ist also allgemein:

Loading : Skalarprodukt der beiden Vektoren Loading und Loading .

Die elektrische Spannung _Loading zwischen den Punkten Loading und Loading ist:

und mit (3.2)

Die Spannung zwischen zwei Punkten im elektrostatischen Feld ist unabhängig von dem Weg, auf dem die Feldstärke integriert wird.

Abbildung 3.4: Die Spannung zwischen a und b ist unabhängig vom Integrationsweg

Allgemein wird dies wie folgt betrachtet: Es seien Loading und Loading zwei beliebige Wege zwischen den Punkten Loading und Loading in einem elektrostatischen Feld. Die Spannung Loading kann durch Integration über verschiedene Wege ermittelt werden:

                                                                    über Loading             über Loading

Damit ist für einen geschlossenen Weg ( Loading = Integral über geschlossenen Weg)

                                                          über Loading      über Loading          über Loading

weil: Loading

           über Loading        über  Loading          über Loading

3.2 Potenzial, Potenzialflächen, Feldlinien

Die bisherige Betrachtung setzte das Feld Loading   einer Punktladung Loading voraus. Die bisherigen Ergebnisse können auf das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung verallgemeinert werden. Das gesamte Feld ist die Summe der Felder aller einzelnen Punktladungen:

Loading

Deshalb gilt auch allgemein, dass in einem elektrostatischen Feld durch die Bewegung einer Ladung längs eines geschlossenen Weges s keine Arbeit geleistet werden kann und dass die längs dieses Weges s summierte Spannung Null ist (Voraussetzung der Maschenregel von Kirch`hoff). Ein Feld mit dieser Eigenschaft heißt Potenzialfeld.

Wie aus der obigen Ableitung leicht ersichtlich ist, gibt es bei dem Feld einer Punktladung zwischen allen Punkten einer Kugelfläche keine Spannung, da für den Weg zwischen diesen Punkten die Vektoren Loading und Loading stets senkrecht zueinander stehen. Eine derartige Fläche, auf der es zwischen zwei beliebigen Punkten keine Spannung gibt, nennt man eine Äquipotenzialfläche oder Potenzialfläche. Das Potenzial Loading ist die elektrische Spannung bezogen auf einen allgemeinen Bezug. Eine Spannung ist die Differenz zweier Potenziale.

Abbildung 3.5: Feldlinien und Potenzialflächen zwischen zwei geladenen elektrisch leitenden Körpern

Flächen aus elektrisch leitendem Material (oft Elektroden genannt) sind Potenzialflächen. Jede Spannungsdifferenz auf so einer Fläche würde (Loading ) einen Strom (= Ladungsverschiebung) bewirken. Die Ladungsverteilung wäre nicht konstant und somit läge kein elektrostatisches Feld vor.

Eine anschauliche Darstellung erhält man, wenn man in dem betrachteten Raum Linien zeichnet, deren Richtung in jedem Punkt gleich der Richtung des Feldes ist. Aus den vorangegangenen Überlegungen folgt, dass diese Linien die Potenzialflächen stets senkrecht durchstoßen.

Hätte der Feldvektor Loading   bezüglich einer Potenzialfläche eine tangentiale Komponente, dann wäre die Fläche ja keine Potenzialfläche. Die Linien werden als Feldlinien bezeichnet.

Feldlinien

• beginnen und enden in Ladungen,
• können sich nicht verzweigen oder kreuzen und
• stehen senkrecht auf Potenzialflächen, also auch auf leitenden Flächen.

Mit diesen Regeln kann für viele geometrische Anordnungen das Feldbild anschaulich dargestellt werden.

Ein größerer Abstand der Potenzialflächen bedeutet gemäß Gleichung (3.8) eine geringe Feldstärke. Die Forderung, dass Feldlinien die Potenzialflächen senkrecht durchstoßen, führt dazu, dass in Bereichen geringer Feldstärke die Feldlinien einen großen Abstand haben. Die Dichte der Feldlinien ist also ein Maß für die Feldstärke.

3.3 Kapazität

In vielen technischen Anwendungen ist die Form des elektrostatischen Feldes nur von untergeordnetem Interesse. Wesentlich ist oft nur der Zusammenhang zwischen Spannung und Ladung.

Für eine beliebige Anordnung von zwei leitenden Körpern, die entgegengesetzt gleich große Ladungen Loading tragen (z. B. für die in Kapitel 3.2 dargestellte) ist nach Gleichung (3.8)

Die Feldform ist durch die Form der Körper sowie die Verteilung der Ladung auf den Körpern bestimmt. Beides ist unabhängig von der Größe von Loading . Wird die Ladung auf den Körpern um einen Faktor Loading vergrößert, dann ist somit ebenfalls die Feldstärke in jedem Punkt um den Faktor Loading vergrößert (z. B. gemäß Gleichung(3.4)) und damit auch die Spannung Loading . Es ist also
  Loading Loading

Der Proportionalitätsfaktor

wird als Kapazität der Anordnung bezeichnet.

Weiter unten wird gezeigt, dass im elektrischen Feld Energie gespeichert ist. Technische Anordnungen, die Energie in einem elektrostatischen Feld speichern können, werden als Kondensatoren bezeichnet. Die Grundform dabei besteht aus zwei Platten aus leitendem Material, die durch eine Isolierschicht getrennt sind (technisch aus Metallfolien, die getrennt auf Isolierfolien aufgewickelt sind). Für diesen Plattenkondensator kann die Kapazität einfach berechnet werden und die grundsätzlichen Zusammenhänge werden deutlich.

Abbildung 3.6: Zur Kapazität eine Anordnung aus zwei parallelen Platten(Effekte an den Rändern sind vernachlässigt.)

Die Feldverformung an den Rändern wird vernachlässigt. Das Feldbild könnte ein Ausschnitt aus zwei nahe gelegenen (kugelförmigen) Potenzialflächen einer punktförmigen Ladung sein. Somit können Gleichungen(3.4) und (3.5) zur Berechnung genutzt werden. Aus Gleichung (3.5) folgt für die Ladung.

Da Loading zwischen den Platten an allen Stellen gleich ist (homogenes Feld) ist nach (3.8) :

und damit

Die Kapazität des Plattenkondensators ist damit

Die Kapazität ist (wie auch im Fall allgemeiner Anordnungen) nur von der Geometrie und von der Dielektrizitätskonstanten Loading (d. h. von den Eigenschaften des Materials zwischen den Elektroden) abhängig.
Für die Kapazität wird die Einheit „Farad" benutzt.

Loading

1 Loading

1 Loading

1 Loading

3.4 Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren

Abbildung 3.7: Parallelschaltung von zweiKondensatoren

Parallelschaltung
An den parallel geschalteten Kapazitäten Loading und Loading liegt dieselbe Spannung Loading .

Die Ladung ist die Summe der Teilladungen:

Loading

Die Parallelschaltung ist also gleichwertig mit einer einzelnen Kapazität Loading :

Mit Bezug auf Gleichung (3.14) wirkt die Parallelschaltung wie eine Vergrößerung der Flächen.

Reihenschaltung

Abbildung 3.8: Reihenschaltung von zwei Kondensatoren

Da hierbei nur Ladung an den Außenklemmen der beiden in Reihe geschalteten Kapazitäten Loading und Loading durch die Spannungsquelle zugeführt wird, gilt, dass die Ladung Loading auf beiden Kapazitäten gleich groß sein muss. Die Spannung Loading ist die Summe der Teilspannungen Loading und Loading :

Loading

Also kann die Reihenschaltung durch eine Kapazität Loading ersetzt werden:

Mit Bezug auf Gleichung (3.10) wirkt also der Plattenabstand vergrößert.

3.5 Zeitlich veränderliche Größen

Abbildung 3.9: Zählpfeile

Gegeben ist ein Kondensator mit der Kapazität Loading , dessen Ladung Loading sich mit der Zeit ändert.

Abbildung 3.10: Beispiel für zeitlich veränderliche Ströme und Spannungen am Kondensator

In Abbildung 3.10 sind zwei zusammengehörige Zeitfunktionen Loading und Loading gezeichnet. Der Strom kann sich sprunghaft ändern. Ein Spannungssprung würde nach (3.19) einen unendlich großen Strom erfordern und ist deshalb unmöglich.

3.6 Energie im Kondensator und im elektrischen Feld

Ein zum Zeitpunkt Loading ungeladener Kondensator (Loading ) wird bis zum Zeitpunkt  Loading auf die Spannung Loading aufgeladen. Die augenblickliche Leistung ist

Loading

und die übertragene Energie somit:

Aus (3.19) folgt mit (3.18) nach Substitution:

Die elektrische Energie eines Kondensators wird also bestimmt durch seine Kapazität Loading und die anliegende Spannung Loading bzw. durch die Ladung Loading .

Betrachtet man einen Plattenkondensator unter Vernachlässigung seiner Randfelder, so gilt gemäß (3.12) :
Loading und Loading

In (3.12) eingesetzt erhält man:

Loading

(Loading : Volumen des Feldraumes)

Die Energiedichte ist:

Auch in kleinen Volumenräumen inhomogener Felder ist das Feld als homogen anzusehen, sodass (3.22) auch für inhomogene Felder richtig ist:

Auf Grund dieser Beziehung kann der Schluss gezogen werden, dass die Energie des geladenen Kondensators im Dielektrikum im elektrischen Feld gespeichert wird.

3.7 Kraftwirkung auf die Elektroden eines Plattenkondensators

Abbildung 3.11: Zur Berechnung der Kraft zwischen zwei geladen parallelen Platten aus der Energieänderung bei einer kleinen Verschiebung ds

Ein Plattenkondensator Abbildung 3.11 sei mit einer Ladung Loading geladen, die beiden Platten ziehen sich somit mit der Kraft Loading an. Zur Berechnung dieser Kraft wird angenommen, dass die untere Platte um den kleinen Weg ds bewegt wird. Dafür muss eine mechanische Arbeit aufgewendet werden:

Loading

Da der Kondensator keine elektrische Verbindung nach außen hat muss die zugeführte mechanische Energie Loading gleich der Änderung der elektrischen Energie des Kondensators sein:

Nach (3.5) ist mit Loading auch Loading und mit (3.21) ist:

Loading

Dies in Gleichung (3.24) eingesetzt, ergibt die Kraft pro Fläche: