3 Elektrisches Feld
3.1 Elektrische Feldstärke, Spannung
Zwei elektrische Ladungen
Abbildung 3.1: Kräfte zwischen zwei Punkladungen
Die Kraft zwischen zwei punktförmigen Ladungen hängt von den Größen der Ladungen, deren Abstand voneinander und einer Konstanten in folgender Weise ab (Coulomb'sches Gesetz):
Praktisch ist die Modellvorstellung, dass z. B. die Ladung
Für den Fall, dass das Feld von einer punktförmigen Ladung
Abbildung 3.2: Von einer Punktladung Q erzeugtes Feld und resultierende Kraft
Experimentelle Untersuchungen haben ergeben, dass abhängig vom Material ist, das den betrachteten Raum auffüllt. Es hat sich als praktisch erwiesen, in anderer Form darzustellen:
Man bezeichnet als Dielektrizitätskonstante (auch Permittivität). ist die relative Dielektrizitätskonstante, die angibt, um welchen Faktor größer ist als für das Vakuum.
ist die Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Man findet:
Vakuum, Gase
Isoliermaterialien
Wasser
Die Abspaltung des Faktors ist gemacht, weil damit im Nenner mit die Oberfläche A der Kugel um mit Radius r steht. Ein Quotient kommt auch für andere geometrische Anordnungen vor und man hat eine Vereinheitlichung erreicht. Für die Kugel gilt also:
Bewegt sich eine kleine punktförmige Probeladung auf Grund der abstoßenden Kraft von dem Punkt auf der Kugel mit dem Radius zu dem auf dem gleichen Radiusvektor gelegenen Punkt auf der Kugel mit dem Radius , so wird an der Probeladung eine Arbeit geleistet:
Im Allgemeinen muss der Weg nicht in Richtung verlaufen. Es trägt dann nur der Anteil der Kraft in Richtung des Weges zur Arbeit bei. Der Anteil der Kraft senkrecht zum Weg trägt nicht zur Arbeit bei. (Analogie im Schwerfeld: Eine horizontale Verschiebung (ohne Reibung) einer Masse erfordert keine Arbeit, nur das Anheben erfordert Arbeit.)
Abbildung 3.3: Nur die Kraft in Richtung ds trägt zur Arbeit bei.
Es ist also allgemein:
: Skalarprodukt der beiden Vektoren und .
Die elektrische Spannung zwischen den Punkten und ist:
und mit (3.2)
Die Spannung zwischen zwei Punkten im elektrostatischen Feld ist unabhängig von dem Weg, auf dem die Feldstärke integriert wird.
Abbildung 3.4: Die Spannung zwischen a und b ist unabhängig vom Integrationsweg
Allgemein wird dies wie folgt betrachtet: Es seien und zwei beliebige Wege zwischen den Punkten und in einem elektrostatischen Feld. Die Spannung kann durch Integration über verschiedene Wege ermittelt werden:
über über
Damit ist für einen geschlossenen Weg ( = Integral über geschlossenen Weg)
über über über
weil:
über über über
3.2 Potenzial, Potenzialflächen, Feldlinien
Die bisherige Betrachtung setzte das Feld einer Punktladung voraus. Die bisherigen Ergebnisse können auf das Feld einer beliebigen Ladungsverteilung verallgemeinert werden. Das gesamte Feld ist die Summe der Felder aller einzelnen Punktladungen:
Deshalb gilt auch allgemein, dass in einem elektrostatischen Feld durch die Bewegung einer Ladung längs eines geschlossenen Weges s keine Arbeit geleistet werden kann und dass die längs dieses Weges s summierte Spannung Null ist (Voraussetzung der Maschenregel von Kirch`hoff). Ein Feld mit dieser Eigenschaft heißt Potenzialfeld.
Wie aus der obigen Ableitung leicht ersichtlich ist, gibt es bei dem Feld einer Punktladung zwischen allen Punkten einer Kugelfläche keine Spannung, da für den Weg zwischen diesen Punkten die Vektoren und stets senkrecht zueinander stehen. Eine derartige Fläche, auf der es zwischen zwei beliebigen Punkten keine Spannung gibt, nennt man eine Äquipotenzialfläche oder Potenzialfläche. Das Potenzial ist die elektrische Spannung bezogen auf einen allgemeinen Bezug. Eine Spannung ist die Differenz zweier Potenziale.
Abbildung 3.5: Feldlinien und Potenzialflächen zwischen zwei geladenen elektrisch leitenden Körpern
Flächen aus elektrisch leitendem Material (oft Elektroden genannt) sind Potenzialflächen. Jede Spannungsdifferenz auf so einer Fläche würde () einen Strom (= Ladungsverschiebung) bewirken. Die Ladungsverteilung wäre nicht konstant und somit läge kein elektrostatisches Feld vor.
Eine anschauliche Darstellung erhält man, wenn man in dem betrachteten Raum Linien zeichnet, deren Richtung in jedem Punkt gleich der Richtung des Feldes ist. Aus den vorangegangenen Überlegungen folgt, dass diese Linien die Potenzialflächen stets senkrecht durchstoßen.
Hätte der Feldvektor bezüglich einer Potenzialfläche eine tangentiale Komponente, dann wäre die Fläche ja keine Potenzialfläche. Die Linien werden als Feldlinien bezeichnet.
Feldlinien
beginnen und enden in Ladungen,
können sich nicht verzweigen oder kreuzen und
stehen senkrecht auf Potenzialflächen, also auch auf leitenden Flächen.
Mit diesen Regeln kann für viele geometrische Anordnungen das Feldbild anschaulich dargestellt werden.
Ein größerer Abstand der Potenzialflächen bedeutet gemäß Gleichung (3.8) eine geringe Feldstärke. Die Forderung, dass Feldlinien die Potenzialflächen senkrecht durchstoßen, führt dazu, dass in Bereichen geringer Feldstärke die Feldlinien einen großen Abstand haben. Die Dichte der Feldlinien ist also ein Maß für die Feldstärke.
3.3 Kapazität
In vielen technischen Anwendungen ist die Form des elektrostatischen Feldes nur von untergeordnetem Interesse. Wesentlich ist oft nur der Zusammenhang zwischen Spannung und Ladung.
Für eine beliebige Anordnung von zwei leitenden Körpern, die entgegengesetzt gleich große Ladungen tragen (z. B. für die in Kapitel 3.2 dargestellte) ist nach Gleichung (3.8)
Die Feldform ist durch die Form der Körper sowie die Verteilung der Ladung auf den Körpern bestimmt. Beides ist unabhängig von der Größe von . Wird die Ladung auf den Körpern um einen Faktor vergrößert, dann ist somit ebenfalls die Feldstärke in jedem Punkt um den Faktor vergrößert (z. B. gemäß Gleichung(3.4)) und damit auch die Spannung . Es ist also
Der Proportionalitätsfaktor
wird als Kapazität der Anordnung bezeichnet.
Weiter unten wird gezeigt, dass im elektrischen Feld Energie gespeichert ist. Technische Anordnungen, die Energie in einem elektrostatischen Feld speichern können, werden als Kondensatoren bezeichnet. Die Grundform dabei besteht aus zwei Platten aus leitendem Material, die durch eine Isolierschicht getrennt sind (technisch aus Metallfolien, die getrennt auf Isolierfolien aufgewickelt sind). Für diesen Plattenkondensator kann die Kapazität einfach berechnet werden und die grundsätzlichen Zusammenhänge werden deutlich.
Abbildung 3.6: Zur Kapazität eine Anordnung aus zwei parallelen Platten(Effekte an den Rändern sind vernachlässigt.)
Die Feldverformung an den Rändern wird vernachlässigt. Das Feldbild könnte ein Ausschnitt aus zwei nahe gelegenen (kugelförmigen) Potenzialflächen einer punktförmigen Ladung sein. Somit können Gleichungen(3.4) und (3.5) zur Berechnung genutzt werden. Aus Gleichung (3.5) folgt für die Ladung.
Da zwischen den Platten an allen Stellen gleich ist (homogenes Feld) ist nach (3.8) :