4 Magnetisches Feld
4.1 Kraftwirkung
Man stellt fest, dass zwischen stromdurchflossenen Leitern Kräfte wirken, die grundsätzlich anderer Art sind als die anziehenden und abstoßenden Kräfte zwischen elektrischen Ladungen. Eine Kraft stellt man zwischen parallelen Leitern fest. Diese Kraft wirkt anziehend, wenn in beiden Leitern die Ströme gleichsinnig fließen, anderenfalls wirkt sie abstoßend. Bei Leitern, die senkrecht zueinander verlaufen, findet man keine resultierende Kraft, stattdessen aber ein Drehmoment.
Abbildung 4.1: Zu den Kraftwirkungen zwischen stromdurchflossenen Leitern
Für die Anordnung der parallelen Leiter findet man:
Diese Anordnung wird dazu genutzt, die elektrische Grundeinheit auf Basis mechanischer Größen zu definieren.
Für
Vakuum,
sehr dünne parallele Leiter,
Länge
,LaTeX Math InlineAbstand der Leiter
,LaTeX Math Inlinebeide Leider werden vom gleichen Strom I durchflossen und
es stellt sich eine Kraft von
einLaTeX Math Inline
ist der eingestellte Strom genau
Aus dieser Definition folgt für die Permeabilität des Vakuums:
Die Permeabilitätskonstante für Materialien wird dann als Produkt geschrieben:
Wie für das elektrische Feld kann man auch hier der Vorstellung folgen, dass ein stromdurchflossener Leiter in seiner Umgebung ein Feld erzeugt, das auf einen anderen stromdurchflossenen Leiter eine Kraft ausübt. Das Feld eines einzelnen langen geraden Leiters sollte axialsymmetrisch sein und es sollte längs des Leiters seine Stärke nicht ändern. Nimmt man die Ergebnisse für die beiden oben angeführten Anordnungen hinzu, dann ergibt sich als einziges plausibles Modell für den Leiter:
a) Die Feldlinien sind geschlossene Kreise um den Leiter herum.
b) Die Kraft, die dieses Feld auf einen zweiten, von durchflossenen Leiter, ausübt ist
wobei der Winkel zwischen und ist. F steht senkrecht auf der durch und aufgespannten Ebene
Abbildung 4.2: Feldlinien rechtswendig dem Strom zu-geordnet.
Willkürlich definiert man, dass das magnetische Feld rechtswendig um den ursächlichen Strom („Schraubenregel") verläuft.
Man definiert
als die magnetische Flussdichte (Erläuterung des Begriffes weiter unten). Für einen langen geraden von einem Strom durchflossenen Leiter in einem Feld senkrecht zu dem Leiter folgt die Kraft
In technischen Anwendungen liegt meistens der Fall vor, dass und senkrecht zueinander sind. Falls das nicht zutrifft, muss mit Gleichung (4.2) gerechnet werden, die üblicherweise in vektorieller Form durch das Vektorprodukt dargestellt wird:
wobei der Zählpfeil für in Richtung zeigt.
4.2 Das Durchflutungsgesetz
Vergleicht man die Gleichungen (4.1) und (4.2) miteinander, dann folgt für das Feld um einen langen geraden Leiter:
Abbildung 4.3: Zum Durchflutungsgesetz für einen langen geraden Leiter
Abbildung 4.4: Die Strecken AB und CD tragen nicht zum Integral im Durchflutungssatz bei.
Geht man nun (Abbildung 4.4) auf einem Radius bis zum Punkt , wechselt da auf einen Radius () und folgt weiter dem Weg – – , dann kann Gleichung auch folgendermaßen geschrieben werden:
ist genau die Länge des Weges auf Radius entsprechend auf Radius . Die Wegstücke – und – haben offensichtlich keine Bedeutung in diesem Zusammenhang, weil sie senkrecht zu verlaufen.
Abbildung 4.5: Nur der Anteil des Weges in Richtung H trägt zum Integral bei.
Man kann jeden beliebigen Weg um herum in kurze Wegstücke zerlegen, und diese wiederum in ein Stück in Richtung des Feldes und ein Stück senkrecht zum Feld. Nur die Wegstücke in Richtung des Feldes sind in Gleichung (4.6) vorhanden. Die Summation der Produkte
(Skalarprodukt)
über den gesamten Weg um den Leiter herum muss dann entsprechend Gleichung (4.6) wieder den Strom ergeben, also
Das Ringintegral (Umlaufintegral) hat die Bedeutung „über einen geschlossenen Weg".
Die gleichen Überlegungen gelten auch, wenn das Feld von mehreren Strömen erzeugt wird:
usw.
Dies führt zu dem Durchflutungsgesetz
Die Summe aller Ströme durch eine Fläche wird Durchflutung genannt.
Einheiten
magnetische Feldstärke : (z. B. ((4.5))
magnetische Flussdichte : (Tesla) (z. B. (4.4))
Permeabilität : (4.3)
Die Anwendung der Gleichung (4.7) zur Berechnung der magnetischen Feldstärke ist immer dann besonders einfach, wenn die Richtung des Feldes aus anderen Überlegungen bekannt ist. Dann kann der Weg meistens aus Stücken parallel und senkrecht zu dem Feld gewählt werden.
Anmerkungen
1.Die gebräuchliche Bezeichnung „magnetische Feldstärke" für die Feldgröße ist historischen Ursprungs; besser wäre die Bezeichnung „magnetische Erregung". Das eigentliche Maß für die magnetische Feldstärke ist die magnetische Flussdichte (s. u.).
2.Magnetische Feldlinien sind stets in sich geschlossen, sie haben weder Anfang noch Ende. Das magnetische Feld wird als „quellenfreies Wirbelfeld" bezeichnet.
4.3 Magnetischer Fluss und Flussdichte
Die magnetische Flussdichte (Kraftliniendichte; Maß für eigentliche Stärke des Feldes) ist nach Gleichung (4.3) :
Weiterhin wird der magnetische Fluss wie folgt definiert:
Abbildung 4.6: Magnetischer Fluss durch eine Fläche A
ist ein Vektor, der senkrecht auf dem Flächenelement steht eine Länge hat, die der Fläche von entspricht. (Sehr bildlich entspricht der magnetischen Fluss der Anzahl der Feldlinien, die durch hindurch treten.)
Wichtig ist, dass die Angabe eines Wertes für einen Fluss nur sinnvoll ist, wenn auch die Fläche angegeben wird, für den der Fluss berechnet wurde!
Die magnetischen Eigenschaften der Stoffe
Die Unterscheidung der magnetischen Eigenschaften der verschiedenen Stoffe wird durch die Verhältniszahl getroffen:
Vakuum ( ist dann die Permeabilität des Vakuums)
Abbildung 4.7: Magnetisierungskennlinie für ferromagnetische Materialien
: Sättigungsflussdichte
: Sättigungsfeldstärke
: Remanenzflussdichte
: Koerzitivfeldstärke
Die Werte für ferromagnetische Stoffe (Eisen, Nickel und zugehörige Legierungen) liegen in dem Bereich zwischen und ; sie sind aber von der Feldstärke und dem physikalischen Zustand (z. B. Temperatur, Aggregatzustand, Legierung) der Stoffe abhängig.
Die Magnetisierungskurve ist nicht-linear mit einer ausgeprägten Sättigung (Abbildung 4.7). a ist die sog. Neukurve für erstmalige Magnetisierung der Stoffe. ist die sog. Hystereseschleife. Beim Durchlaufen dieser Kurve wird eine Energie, die durch die Fläche der Schleife wiedergegeben wird, als Ummagnetisierungsarbeit verbraucht.
Bei einer engen Schleife mit kleiner Fläche spricht man von magnetisch weichen Stoffen. Die Stoffe (fast reines Eisen oder Eisen-Silizium-Legierungen) finden vor allem im Elektromaschinenbau Anwendung.
Für übliche Werkstoffe für elektrische Maschinen ist etwa
4.5 Stetigkeit an Grenzflächen, Bedeutung des Luftspaltes
Sei z. B. die in Abbildung 4.8 gegebene Anordnung gegeben, in der ein Eisenring mit Luftspalt mit einer stromdurchflossenen Spule mit w Windungen bewickelt ist. Der Strom wird im Eisenring einen magnetischen Fluss im Uhrzeigersinn erzeugen. An der Grenzfläche zwischen Eisen und Luft muss in Umfangsrichtung die Feldstärke im Eisen gleich der Feldstärke in der Luft sein. Anderenfalls wäre ja an der Oberfläche eine Durchflutung nötig, wie das rechte Bild zeigt. Wegen der großen Permeabilität des Eisens folgt sofort . Damit verbunden ist die Tatsache, dass bei normalen geometrischen Abmessungen der magnetische Fluss im Eisen wesentlich größer ist als parallel dazu in der Luft. Das Eisen leitet also die magnetischen Feldlinien in ähnlicher Weise wie ein Kupferdraht den elektrischen Strom leitet.
Etwas schwieriger sind die Verhältnisse am Luftspalt. Der Durchflutungssatz für einen Umlauf auf dem Radius ergibt:
Die Annahme ist nicht plausibel, denn dann hätte der Luftspalt ja keinen Einfluss. Setzt man aber an, dann ist zum Einen der magnetische Fluss am gesamten Umfang gleich, unabhängig davon, ob man einen Querschnitt durch das Eisen oder den Luftspalt betrachtet.
Zum anderen zeigt der Durchflutungssatz den großen Einfluss des Luftspaltes:
mit
Die Weglänge im Eisen scheint also gegenüber der Weglänge im Luftspalt um den Faktor verkürzt. Umgekehrt kann man es bei praktisch vorkommenden geometrischen Abmessungen so betrachten, dass ein Großteil des Stromes alleine für die Magnetisierung des Luftspaltes benötigt wird, die Eisenwege haben kaum einen Einfluss. (Beispiel: = 100 mm, = 1 mm, = 1000: 90 % des Stromes sind für den Luftspalt erforderlich.)
In rotierenden elektrischen Maschinen wird zwangsläufig ein Luftspalt zwischen rotierendem und feststehendem Teil gebraucht, um auch bei thermischer Ausdehnung oder Vibrationen eine Anstreifen des drehenden Teils an den feststehenden Teil zu vermeiden. Auch wenn der Luftspalt meist nur 1 – 2 mm beträgt, so bestimmt er das magnetische Feld doch so entscheidend, dass für die meisten Betrachtungen zu elektrischen Maschinen der Einfluss der Eisenwege zunächst vernachlässigt wird.
4.6 Der magnetische Kreis
Abbildung 4.9: Eisenkern mit Spule und Luftspalt
Eine vom Strom durchflossene Spule mit Windungen ist um einen Kern gewickelt. Die Permeabilität des Kernes ist sehr viel größer als die der Umgebung, so dass gemäß den Ausführungen in Kapitel 4.7 der gesamte Fluss in dem Kern mit dem Luftspalt () geführt wird und in sich geschlossen ist. Der Kern ist in sechs Abschnitte aufgeteilt, die durch die Größen , und ( = 1...6) beschrieben sind.
Zur Berechnung des magnetischen Flusses im Eisenkern aus der Durchflutung der Spule, wird (4.9) genutzt:
Dabei entspricht bei der vorliegenden Anordnung der Fläche der Querschnitt des Kerns an der Stelle der Berechnung. Abrundungen in den Ecken des Kernes und andere Effekte werden typisch vernachlässigt.
Dann gilt für ein homogenes magnetisches Feld in dem jeweiligen Abschnitt :
und mit (4.8) :
Für die Ausführung der Integration im Durchflutungsgesetz (4.7)
wird ein mittlerer Weg gewählt, der die Längen der einzelnen Abschnitte umfasst, sodass als Näherung gilt:
Analog zum ohmschen Widerstand kann ein Widerstand des magnetischen Kreises definiert werden, der lediglich von der Geometrie des Kernes und dessen Materialeigenschaften () abhängt:
Mit (4.11) lautet dann das „ohmsche Gesetz des magnetischen Kreises":
(4.13) zeigt die Verknüpfung des magnetischen Flusses mit der Durchflutung als Erregung des magnetischen Flusses.
Für eine Teilstrecke des magnetischen Kreises gilt:
ist der magnetische Spannungsfall des Abschnitts . Es ist der Durchflutungsbedarf des betreffenden Abschnitts und entspricht dem Spannungsfall an einem ohmschen Widerstand in einem geschlossenen Stromkreis.
Für den eingangs dargestellten magnetischen Kreis kann also folgendes elektrische Ersatzschaltbild gezeichnet werden:
Abbildung 4.10: Elektrisches Ersatzschaltbild für magnetischen Kreis in Abbildung 4.9
Mit folgender Analogie können die Flüsse in Eisenkreisen ebenso berechnet werden, wie die Ströme in elektrischen Netzwerken.
| magnetisch | elektrisch |
Fluss, Strom |
|
4.7 Das Induktionsgesetz nach Faraday (1830)
Abbildung 4.11: Induktion: Die Änderung des Flusses erzeugt eine Spannung
Abbildung 4.12: Induktion bei mehreren Windungen
Wird eine Drahtschleife von einem sich zeitlich ändernden magnetischen Fluss durchsetzt (Abbildung 4.11) so entsteht an den offenen Klemmen (Leerlauf) der Schleife eine Spannung
Bei mehreren Windungen addieren sich die Spannungen der einzelnen Windungen (Abbildung 4.12).
Wegen wird nach Gleichung (4.15) eine Spannung sowohl durch eine Veränderung des magnetischen Feldes induziert, als auch durch eine Veränderung der Fläche . In einem räumlich und zeitlich konstanten Feld kann also sowohl durch eine Drehung oder eine (mit einer Flussänderung verbundene) Verschiebung der Leiterschleife als auch durch eine Verformung der Leiterschleife eine Spannung induziert werden.
Die Vorzeichen in Gleichung (4.15) und (4.16) können zwar formal entsprechend den gewählten Zählpfeilen festgelegt werden. Meistens ist jedoch die Festlegung nach der Lenz`schen Regel einfacher: „Die Wirkung eines aus der induzierten Spannung möglichen Stromes muss der verursachenden Flussänderung entgegen wirken". (Anderenfalls ergäbe sich ja eine fortlaufende Selbstverstärkung.)
Abbildung 4.13: Zur Lenz'schen Regel zu den Vorzeichen im Induktionsgesetz
In Abbildung 4.13 würde in der dargestellten Richtung (als Folge von ) den Fluss verstärken, also muss ein Minuszeichen ergänzt werden
Das Induktionsgesetz ist oft Ursache für Missverständnisse oder Fehler:
Abbildung 4.14: Beispiel zur Verfälschung einer Messung durch Induktion
Ein typisches Beispiel ist in Abbildung 4.14 dargestellt. Der Widerstand soll aus dem bekannten eingeprägten Strom und der mit dem Voltmeter gemessenen Spannung ermittelt werden. Wenn der Strom jedoch ein Wechselstrom möglicherweise hoher Frequenz ist, dann erzeugt der Strom einen veränderlichen Fluss durch die aus dem Leiterstück und den Messleitungen zum Voltmeter gebildeten Fläche und das Voltmeter zeigt an:
Die Position der Messleitungen beeinflusst also das Messergebnis!
4.8 Selbstinduktion; Induktivität
Abbildung 4.15: Selbstinduktion: Der Strom i induziert die Spannung u.
Der zeitlich veränderliche Strom der Spule erzeugt in dem magnetischen Kreis (Abbildung 4.15) infolge der Durchflutung den zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss .
Mit (4.13)
Die Spannung der Spule ist durch das Induktionsgesetz mit dem magnetischen Fluss verknüpft. Wird der ohmsche Widerstand der Spule vernachlässigt, so gilt nach (4.16) :
Soll oder kann der ohmsche Widerstand der Spule nicht vernachlässigt werden, so wird im allgemeinen dieser Widerstand in einem Ersatzschaltbild als konzentriertes Bauelement hinzugefügt. Für die Spannung gilt dann:
Abbildung 4.16: Berücksichtigung des Wicklungswiderstandes
Mit (4.17) und (4.18) folgt (unter der Voraussetzung, dass und konstant sind und der Wicklungswiderstand nicht berücksichtigt wird) dann der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung (Selbstinduktion):
Als Induktivität wird
Abbildung 4.17: Zählpfeile
bezeichnet. Somit gilt:
Die Induktivität beschreibt die Eigenschaft des elektromagnetischen Feldes einer Spule in Bezug auf die elektrischen Größen und , die an den Klemmen der Spule auftreten.
Abbildung 4.18:Beispiel für die zeitlichen Verläufe von Strom und Spannung an einer Induktivität
Bei einer Induktivität kann sich die Spannung sprunghaft ändern, wogegen der Strom keine sprunghaften Änderungen vollziehen kann.
Die Einheit der Induktivität ist
(Henry).
Für in (4.19) bedeutet das mit (4.17)
wobei nur der Fluss einbezogen werden darf, der auch durch erzeugt wird. Für eine Spule aus mehreren Windungen muss hier der Fluss über die Schraubenfläche der Spule aufsummiert werden.
Diese Definition (4.21) ist allgemein gültig für beliebige Spulenformen, während (4.19) sinnvoll nur anwendbar ist, wenn jede Windung der Spule vom gleichen Fluss durchsetzt wird.
Abbildung 4.19: Unterscheidung des Spulenflusses (durch die Schraubenfläche) von dem Fluss durch die Projektionsfläche(z. B. einen Eisenkern)
Bei einer Spule aus mehreren () Windungen ist für der Fluss durch die Schraubenfläche anzusetzen, eine Feldlinie schneidet die Fläche mehrmals und trägt somit mehrmals zur Bildung des Flusses bei.
Daraus ist ersichtlich:
(4.22) ist das Analogon zu
4.9 Gegeninduktion, Gegeninduktivität
Abbildung 4.20: Zwei magnetisch gekoppelte Spulen
Für zwei beliebig angeordnete Spulen 1 und 2 kann aus dem Vorangegangenen gefolgert werden:
Der gesamte Fluss in Spule 1 setzt sich also aus zwei Anteilen zusammen: Der eine Anteil wird von erzeugt und der Zweite von .
Die Flüsse sind die Spulenflüsse, bei einer Spule mit mehreren Windungen ist das also gemäß Abbildung 4.20 die Windungszahl zu berücksichtigen.
Der Zusammenhang ist nach (4.22) durch die Induktivität gegeben:
Entsprechend definiert man eine Gegeninduktivität :
Entsprechendes gilt auch für Spule 2 und somit ist insgesamt:
Mit (4.20) folgt für die Spannungen:
Strom induziert also in Spule 2 eine Spannung und umgekehrt. Dies wird Gegeninduktion genannt. Man kann zeigen:
Für gibt es keinen beiden Spulen gemeinsamen magnetischen Fluss, die Spulen sind also entkoppelt. Für gibt es keinen magnetischen Fluss, der nur eine der Spulen durchdringt, beide Spulen sind also ideal gekoppelt. Dieser Fall wird in technischen Anwendungen häufig angestrebt und man bezeichnet deshalb denjenigen magnetischen Fluss, der nicht beide Spulen durchsetzt als Streufluss oder Streuung.
4.10 Idealer Transformator
Abbildung 4.21: Prinzip eines idealen Transformators
Über einen magnetisch gut leitenden Kern sind zwei Spulen (Wicklungen) miteinander gekoppelt. Der ohmsche Widerstand der Spulen wird für die folgende Betrachtung vernachlässigt (4.18). In dem Kern wird ein magnetischer Fluss angenommen, der beide Wicklungen in gleicher Größe durchsetzt, es gibt also keine Streuung. Es ist nach (4.16) :
Daraus folgt, dass bei einer idealen Kopplung der Wicklungen das Übersetzungsverhältnis :
Wird an die Wicklung 2 ein ohmscher Widerstand angeschlossen, so fließt durch diesen Widerstand der Strom
Dann gilt nach (4.7) und (4.13) für die Verknüpfung der Gesamtdurchflutung mit dem magnetischen Fluss :
In (4.27) kann der magnetische Widerstand entsprechend (4.12) formal durch den Ausdruck ersetzt werden ( ist die mittlere Weglänge des magnetischen Flusses im Kern). Dann folgt aus (4.27) :
Nach (4.28) ist die zur Erzeugung des magnetischen Flusses notwendige Durchflutung umso kleiner, je größer die magnetische Leitfähigkeit des Kernes ist.
Abbildung 4.22: Idealer Transformator
Im Idealfall (idealer Transformator) sei unendlich groß, sodass die Gesamtdurchflutung Null wird.
Dann ist:
Aus (4.26) und (4.29) folgt für die Leistung :
Abbildung 4.23: Transformation eines Widerstande R in R*
Die gesamte der Spule 1 zugeführte Leistung wird also auf die Spule 2 übertragen.
Für den Quotienten folgt aus (4.26) und (4.29) :
Bei Abschluss der Spule 2 mit einem ohmschen Widerstand erscheint dieser transformiert auf Seite 1.
4.11 Realer Transformator, Ersatzschaltbild
Abbildung 4.24: Ersatzschaltbild eines Transformators unter Berücksichtigung des Leerlaufstrome, der Streuung und der Wicklungswiderstände
a) : Gleichung (4.29) gilt nicht mehr, sondern es muss von Gleichung (4.27) ausgegangen werden, also:
Bei ist also ein (Leerlauf-) Strom erforderlich mit Gleichung (4.19)
Das wird durch eine Induktivität parallel zum idealen Transformator berücksichtig.
b) Streuung: Es gibt Feldlinien um jede Spule, die die andere Spule nicht oder nur teilweise durchsetzen. Die Spannung ist nach Gleichung (4.25) ist also
wobei der gemeinsame Fluss ist und den Fluss berücksichtigt, der nur Spule 1 durchsetzt (Streufluss). Das kann nach Gleichung (4.18)ff durch eine Induktivität in Reihe zum idealen Transformator berücksichtigt werden. Entsprechendes gilt auch für .
c) Der Kupferwiderstand der Wicklung wird durch Widerstand in Reihe jeder Spule berücksichtigt.
d) Weitere Einflüsse müssen je nach Fragestellung berücksichtigt werden. Für das Betriebsverhalten im stationären Normalbetrieb können sie vernachlässigt werden.
4.12 Energie im magnetischen Feld
Abbildung 4.25: Zur Berechnung der Energie im magnetischen Feld
Eine Spule mit der Induktivität liegt vom Zeitpunkt bis zum Zeitpunkt an der Spannung . Der Strom ist null bei , zum Zeitpunkt soll der Strom durch die Spule fließen.
Die Energie, die der Spule zugeführt wird, folgt aus der Leistung :
Mit (4.20) folgt dann:
Diese Energie ist im magnetischen Feld der Spule gespeichert.
Aus(4.32) folgt mit (4.22) :
Für einen magnetischen Kreis konstanten Querschnitts mit der Länge gilt mit den Gleichungen (4.7) und (4.8) :
Mit ist daraus
Die Energiedichte in einem homogenen Magnetfeld ist damit:
4.13 Kraft am Luftspalt eines magnetischen Kreises
Ein magnetischer Kreis mit einem Luftspalt der Länge führt den konstanten magnetischen Fluss . Es wird nun eine virtuelle Veränderung des Luftspaltes um ds durch die Kraft angenommen. Dann ist die mechanisch entnommene Energie
gleich der dem magnetischen Feld entnommenen Energie. Wichtig bei dieser Betrachtung ist, dass das Systems abgeschlossen ist und keine Energie mit anderen Bereichen austauschen kann. Der konstante Fluss konnte z. B. so erreicht werden, dass man um den Kern eine unendlich gut leitende kurzgeschlossene Drahtschleife legt. Wegen der guten Leitfähigkeit ist die Spannung längs der Schleife null. Wegen nimmt die Schleife keine Leistung auf und gibt keine Leistung ab. Anderseits erzwingt aber auch nach dem Induktionsgesetz (4.15) einen konstanten Fluss. Ein konstanter Fluss bedeutet also, dass dem Magnetfeld von der Erregung her keine Energie zugeführt wird. Unter dieser Bedingung führt nur die mechanische Arbeit zu einer Änderung der Feldenergie.
Comments
ob sich hier jemals einer die Kommentare durchlesen wird xD
Klar doch! Danke für den Hinweis und danke auch für das Erinnern!
In der Herleitung von Gleichung 33 sollte ein großes W durch ein kleines W ersetzt werden. Andernfalls ist die Arbeit leicht mit der Windungszahl zu verwechseln.